En 1676, alors qu'il sejourne encore a Paris, Leibniz entreprend de composer un volumineux traite qui restera sans doute l'un de ses ecrits mathematiques les plus fortement charpentes: La quadrature arithmetique du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole et la trigonometrie sans tables qui en est le corollaire. Ce traite se presente comme un abrege exhaustif de la geometrie infinitesimale, dont Leibniz avait pu esperer qu'elle lui ouvrirait les portes de l'Academie des Sciences. Cependant, contraint de quitter la capitale avant (...) sa publication, il abandonnera derriere lui un ouvrage qui n'allait voir le jour qu'en 1993. Le probleme de la quadrature est pretexte a soulever plusieurs enjeux capitaux tant pour les mathematiques que pour la philosophie. Il permet notamment a Leibniz d'examiner avec une grande precision la question de la methode, des fondements, ainsi que des notions cruciales de rigueur et d'infini, tout en mettant en evidence leurs applications pratiques. Si la presente edition de ce texte foisonnant ne reproduit pas l'integralite des variantes, elle en propose une version corrigee et annotee, qui s'accompagne d'une traduction francaise en regard. (shrink)

Il s’agit d’une methode qui permet d’associer à chaque formule bien formée du système S5 de logique modale un nombre naturel invariant pour toutes les formules qui appartiennent a la même classe d’equivalence que la première.En particulier, étant donné que la méthode associe à toutes les tautologies du système le nombre o et a toutes les contradictions du système un certain nombre Φ, il suffit de calculer le nombre qui, en vertu des associations fondamentales, reste associé à n’importe quelle formule (...) pour décider si cette dernière est tautologique, contradictoire ou contingente.Les relations logiques reliant deux formules du systeme -par exemple, des implications, des incompatibilités, des oppositions contradictaires, etc.- sont révéciés par un simpIe examen oculaire des nombres assoc iés aux formules données et une rapide vérification manuelle ou informatique fondée sur la comparaison des chiffres du même rang de ces nombres, écrits en hexadécimal.Finalement, l’analyse de la composition binaire du nombre associé a une formule donnée permet d’obtenir l’expression de la première sous sa forme normale conjonctive.La méthode décrite constitue donc une nouvelle méthode arithmétique de décision pour le système modal indiqué. (shrink)

RÉSUMÉ: Dans cet article, j’entreprends de clarifier le projet (frégéen) d’une logique de l’arithmétique -- tel qu’il a été discuté par Natorp et Rickert -- en distinguant trois questions directrices. Le nombre est-il un objet logique? L’arithmétique est-elle réductible à la logique? Est-il possible de déduire les opérations arithmétiques de lois purement logiques? Ma thèse est que la distinction rigoureuse de ces trois questions permet de lever une grande partie des obscurités qui affectent en généralle programme d’une logique (...) de l’arithmétique. La contribution néo-kantienne à ce programme se trouve du même coup éclairée d’une lumière nouvelle.ABSTRACT: In this article, I try to shed light on the (Fregean) project of a logic of arithmelic-as discussed by Natorp and Rickert-by outlining three main questions. Is the number a logical object? Is arithmetic reducible to logic? Is it possible to deduce the arithmetical operations from purely logical laws? I argue that rigorous distinction between these three questions makes it possible to elucidate many problems affecting the program of a logic of arithmetic. The Neo-Kantian contribution to this program is at the same time considered in a new light. (shrink)

Cet article cherche à travers une étude des textes, et en suivant l'évolution de la pensée de Frege, à dégager le rôle prédominant - à la fois positif et regrettable - qu'a joué la philosophie dans la construction du système fondationnel des Grundgesetze. En premier lieu, sa conception exhaltante de la logique, qui fonde son logicisme est exposée; ensuite, il apparaît que le concept "autonome” d'ensemble n'entrant pas, selon Frege, dans ce domaine pur, ne peut pas fonder l'arithmétique; ensuite, (...) on voit que les types violent à la fois la simplicité privilégiée de la logique et la nature métaphysique des fonctions et en dernier lieu, les raisons philosophiques de la théorie des entités incomplètes sont développées. Il apparaît qu'une vision philosophique empêche de sauver le système des Grundgesetze à moins de le détruire. (shrink)

En résolvant au plan de l’attribution du nombre un problème insoluble au plan de l’engendrement du nombre, celui de la compatibilité entre égalité et discernabilité, Frege est conduit à supposer l’existence de concepts dont les caractères dépeignent des propriétés discriminantes. Frege souligne avec force que « donner un nombre, c’est exprimer un fait indépendant de notre manière de voir ». Mais on peut se demander si un caractère discriminant, précisément, n’est pas une « manière de voir » – quoiqu’au sens (...) non psychologiste d’un aspect sous lequel peut être vu un complexe signitif. Frege et Husserl méconnaissent que le procédé de spécification des multiplicités par mise en correspondance biunivoque est tributaire d’une extension de la théorie des moments figuraux aux complexes signitifs. En envisageant les nombres comme des propriétés internes de symboles de classes, en d’autres termes comme des aspects exhibés par des listes, Wittgenstein pense l’émergence de critères figuraux de corrélations numériques. Contre la critique frégéenne de Husserl, Wittgenstein fait valoir que la pertinence de la notion de moment figural ou d’aspect n’est pas confinée à la psychologie ; contre le thème husserlien d’une intuition catégoriale des nombres, que le moment statutaire du concept ne saurait être délégué à aucune intuition. (shrink)

En résolvant au plan de l’attribution du nombre un problème insoluble au plan de l’engendrement du nombre, celui de la compatibilité entre égalité et discernabilité, Frege est conduit à supposer l’existence de concepts dont les caractères dépeignent des propriétés discriminantes. Frege souligne avec force que « donner un nombre, c’est exprimer un fait indépendant de notre manière de voir ». Mais on peut se demander si un caractère discriminant, précisément, n’est pas une « manière de voir » – quoiqu’au sens (...) non psychologiste d’un aspect sous lequel peut être vu un complexe signitif. Frege et Husserl méconnaissent que le procédé de spécification des multiplicités par mise en correspondance biunivoque est tributaire d’une extension de la théorie des moments figuraux aux complexes signitifs. En envisageant les nombres comme des propriétés internes de symboles de classes, en d’autres termes comme des aspects exhibés par des listes, Wittgenstein pense l’émergence de critères figuraux de corrélations numériques. Contre la critique frégéenne de Husserl, Wittgenstein fait valoir que la pertinence de la notion de moment figural ou d’aspect n’est pas confinée à la psychologie ; contre le thème husserlien d’une intuition catégoriale des nombres, que le moment statutaire du concept ne saurait être délégué à aucune intuition. (shrink)

RésuméAvant celle de Ṯābit b. Qurra, l’Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase fit l'objet d'une première traduction fautive révisée par un élève d'al-Kindī. Grâce à la partie éditée et traduite par Freudenthal et Lévy, nous pouvons désormais identifier ce réviseur comme étant Aḥmad b. al-Ṭayyib al-Saraḫsī, que nous avons par ailleurs reconnu comme auteur des Rasā᾿il Iḫwān al-Ṣafā᾿. La comparaison des gloses de ce réviseur d'une part avec un fragment inédit d'al-Saraḫsī et d'autre part avec les « Épîtres des (...) Frères en Pureté » corrobore l'attribution des épîtres à al-Saraḫsī. En outre, l’étude des contresens de cette version kindisée du texte de Nicomaque nous renseigne mieux tant sur la tentative kindienne d'unifier la philosophie que sur la spécificité de l'ontologie des Frères en Pureté. (shrink)

Augustin-Louis Cauchy publie une majorité de ses recherches arithmétiques entre 1829 et 1840. Celles-ci ne sont pourtant qu’évoquées dans certaines histoires de la théorie des nombres centrées sur les lois de réciprocité ou sur la théorie des nombres algébriques. Elles y sont décrites comme contenant quelques résultats similaires à ceux de Gauss, Jacobi ou Dirichlet mais de manière incomplète et désordonnée. L’objectif de cet article est de présenter une analyse des textes arithmétiques de Cauchy publiés entre 1829 et 1840 pour (...) montrer qu’ils contiennent au contraire un ensemble cohérent de résultats en lien avec les formes quadratiques \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$4p^{\mu }=x^2+ny^2$$\end{document}, où \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$p$$\end{document} est un nombre premier et \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$n$$\end{document} un diviseur de \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$p-1$$\end{document}. Nous discuterons également la forme particulière de ce corpus et la stratégie utilisée pour retrouver les lignes directrices du travail de Cauchy. Augustin-Louis Cauchy published most of his arithmetical research between 1829 and 1840. These are however only mentioned in some number theory history centered on reciprocity laws or on theory of algebraic numbers. They are described as containing some results similar to those of Gauss, Jacobi and Dirichlet but in a incomplete and disorganized way. The objective of this paper is to present an analysis of Cauchy’s arithmetical texts published between 1829 and 1840 to show that they contain a rather consistent set of results related to quadratic forms \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$4p^{\mu } = x ^2 + ny ^2 $$\end{document}, where \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$p$$\end{document} is a prime and \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$n$$\end{document} a divisor of \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$ p-1 $$\end{document}. We will also discuss the particular form of this body of texts and the strategy we used to find the guidelines of the work of Cauchy. (shrink)

Résumé -/- Dans son premier livre (Philosophie de l’arithmétique 1891), Husserl élabore une très intéressante philosophie des mathématiques. Les concepts mathématiques sont interprétés comme des concepts de « deuxième ordre » auxquels on accède par une réflexion sur nos opérations mentales de numération. Il s’ensuit que la vérité de la proposition : « il y a trois pommes sur la table » ne consiste pas dans une relation mythique quelconque avec la réalité extérieure au psychique (où le nombre trois (...) doit être exemplifié de quelque manière), mais bien dans le fait que les pommes sur la table peuvent être dénombrées correctement en tant qu’elles sont au nombre de trois. Nous avons affaire ici à une position « antiréaliste » fondant la vérité mathématique non pas dans un monde platonicien, mais bien sur le concept de rectitude de nos opérations formelles. -/- Abstract -/- In his first book (Philosophy of Arithmetic 1891) Husserl develops a very interesting philosophy of mathematics. Mathematical concepts are interpreted as « second order » concepts gained by reflection on our mental operations of counting. Accordingly the truth of the proposition « There are three apples on the table » consists not in any mythical relation to the extra-mental reality (where the number three should be somehow exemplified), but rather in the fact that the apples on the table can be correctly counted as three. We have here an « anti-realist » position grounding the mathematical truth not in platonic realms, but rather in the concept of correctness of our formal operations. (shrink)

Résumé Les arts libéraux tiennent un rôle particulier dans la pensée de Simon Stevin (1548-1620). Grâce à eux, ce savant peut dévoiler dans son épistémologie d’une part ce que sont les dispositions innées de l’esprit (distinguer le vrai du faux, parler, compter) et d’autre part les fondements des objets de la Nature (le nom, le nombre, la mesure et le poids). Un art de penser associe alors l’âme et la Création et permet de codifier les différents arts et l’action vertueuse. (...) Dans cet article, nous voulons montrer le rôle que jouent la dialectique et l’arithmétique dans l’art de penser de ce mathématicien et ingénieur flamand. Nous expliciterons alors les liens entre ces deux disciplines et la mise en place grâce à eux d’outils communs comme la proportion et la méthode dans la réalisation d’un projet encyclopédique. (shrink)

The idea of objectivity is primary in Gottlob Frege’s thought, not only for his conception of logic and mathematics, but also for his philosophy as a whole. He deals with the topic for the first time in 1884, in Grundlagen der Arithmetik, precisely in paragraph 26. He distinguishes the objective from the subjective, of course, but also from the real, what he calls the actual (wirklich in German). In order to be perfectly understood, he gives as example the colors but, (...) above all, to explain what is objective in geometry and space, he proceeds to a «thought-experiment», founded on the principle of duality. It is this aspect that I emphasize here, in the general framework ofparagraph 26 and in conjunction with Frege’s other works. (shrink)

In this article, I wish to discuss in an informal way the motivations and the motifs of the constructivist approach to logic and mathematics and by a natural extension to the general field of science, particularly theoretical physics. Foundational questions in those domains are not ruled by philosophical principles, but a critical philosophy of foundations could be the leitmotiv to the extent that it can be used as a criterion to decide between the theoretical options of scientific practices that are (...) often oblivious to their own doctrinal presuppositions. My objective is to provide the justificatory reasons for a constructivist option or posture in the field of scientific knowledge. (shrink)