El artículo presenta y analiza un conjunto de notas manuscritas de clases para cursos sobre geometría, dictados por David Hilbert entre 1891 y 1905. Se argumenta que en estos cursos el autor elabora la concepción de la geometría que subyace a sus investigaciones axiomáticas en Fundamentos de la geometría . Por un lado, afirmo que lo que caracteriza esta concepción de la geometría es: i) una posición axiomática abstracta o formal; ii) una posición empirista respecto del origen de la geometría (...) y de su lugar dentro de las distintas teorías matemáticas. Por otro lado, sostengo que el papel que Hilbert le confiere a la intuición geométrica en el proceso de axiomatización de esta teoría, permite apreciar claramente su oposición respecto de las posiciones formalistas con las que habitualmente es identificado. (shrink)

En su ópera prima, antes de concebir la filosofía crítica, Kant manifestó su entusiasmo por una geometría de todos los tipos posibles de espacio, y no sólo del espacio conocido. Como el filósofo atribuye cada espacio a un mundo posible distinto, la "geometría suprema", como la denominó, en realidad sería el nombre genérico para un conjunto de geometrías diversas que describen espacios igualmente diversos. En ese conjunto genérico se encuentra la geometría de Euclides, y cabe preguntarse si acaso entre las (...) otras especies no podrían hallarse las geometrías que hoy conocemos como no-euclídeas. Creemos que no es así, y es lo que nos proponemos mostrar en este trabajo. Sostendremos, por lo tanto, la distinción entre las denominaciones "otras geometrías" y "geometrías no-euclídeas" y desarrollaremos la incompatibilidad entre ambas tal como ésta se sigue de los textos de Kant. Intentaremos asimismo caracterizar las "otras geometrías" según la noción de "espacio habitado", por nosotros o por los eventuales habitantes de otros universos posibles. Así, las "otras geometrías" quizá podrían ser comprendidas mejor como geometrías de los otros (de la alteridad), que como anticipación de las geometrías no-euclídeas. (shrink)

El presente artículo argumenta que hay un desarrollo en la postura de Platón frente a la geometría. A partir del primer contacto con la geometría, Platón se sintió atraído hacia la geometría por sus sorprendentes resultados. Por tal motivo, en un primer momento, Platón presenta en el Menón y en el Teeteto a la geometría como una ciencia ejemplar y le pide a los interlocutores que imiten sus procesos. En un segundo momento, Platón en la República incluye a la geometría (...) dentro de la filosofía, hace que el método de la geometría fundamente a su máxima ciencia dialéctica, incluye a los entes geométricos dentro del edificio ontológico, y a la ciencia geométrica dentro de las disciplinas que el rey-filosofo debe estudiar para ascender a las ideas. En un tercer momento, en el Timeo, la geometría es la ciencia básica que utiliza el Demiurgo para componer al universo. (shrink)

Alexandre Grothendieck foi um dos maiores matemáticos do século 20 e um dos mais atípicos. Nascido na Alemanha a um pai anarquista de origem russa, sua infância foi marcada pela militância política dos seus pais, assim passando por revoluções, guerras e sobrevivência. Descoberto por sua precocidade matemática por Henri Cartan, Grothendieck fez seu doutorado sob orientação de Laurent Schwartz e Jean Dieudonné. As principais contribuições dele são na área da topologia e na geometria algébrica, assim como na teoria das (...) categorias. No final dos anos de 1960, ele se dedicou à militância política e ecológica, organizando a revista Survivre durante três anos. Em 1986, publicou um manuscrito autobiográfico de 1000 páginas, Récoltes et semailles, em que ele descreve sua experiência e sua prática da matemática, assim suas contribuições à comunidade matemática francesa. Pouco comentado na filosofia, as implicações dos seus descobrimentos fora mais recentemente discutidas por Alain Badiou na sua "fenômeno-lógica", em Logiques des mondes e Arkady Plonitsky, Mathgematics, Science and postclassical Theory, pesquisa trata da semelhança entre os aspectos formais da filosofia de Gilles Deleuze e da topologia de Grothendieck. (shrink)

En este artículo se traza una distinción clara y precisa entre geometría pura y geometría aplicada dentro del marco de las reflexiones sobre los fundamentos de la geometría promovidas por la aparición de geometrías no-euclidianas y en el contexto de las discusiones mantenidas por los empiristas lógicos sobre la estructura general de las teorías empíricas. De manera más particular, se defiende, tal y como proponen los empiristas lógicos, que una geometría pura es un sistema formal que no nos dice nada (...) sobre la realidad física, mientras que una geometría aplicada es una teoría empírica, una teoría física (una teoría del espacio) que resulta de dotar de significado a una geometría matemática. Para sostener esta tesis se recurre, en parte, a ciertas ideas expresadas por Einstein sobre la teoría general de la relatividad. Por último, si bien parece que esta imagen de la estructura de una geometría física es relativamente adecuada, se insiste en la tesis de que el error principal de los empiristas lógicos estaría entonces en pretender hacer de ella el carácter predominante de la estructura de las teorías científicas en general. (shrink)

This paper contributes to clarifying Deleuze’s theory of the Idea by a commentary on its technical definition: “a defined, continuous, n-dimensional multiplicity”, presented in chapter IV of Difference and Repetition. This definition implicitly intertwines Deleuze’s own metaphysical view of the Idea as a virtual problem with a series of notions taken from the differential geometry developed by the German mathematician Georg B. Riemann. To clarify this influence, we will reconstruct the fundamental elements of the Riemannian notions used by Deleuze, and (...) show how these elements are presupposed in Deleuze’s concept of Idea. (shrink)

Name der Zeitschrift: Das Mittelalter Jahrgang: 22 Heft: 2 Seiten: 314-331.

Poiché i miei interessi di ricerca si concentrano sul rapporto tra spazio e rappresentazione, nel presente articolo commenterò un lavoro di Achille C. Varzi pubblicato nel 2008 e intitolato, nella sua versione italiana, «Configurazioni, regole e inferenze». Accennerò anche a un secondo articolo scritto da Varzi e Massimo Warglien e pubblicato nel 2003, intitolato «The Geometry of Negation». Mi rivolgerò poi alla psicologia sperimentale, collegando alcuni aspetti delle osservazioni di Varzi a un articolo di Johnson- Laird del 2005 intitolato «The (...) Shape of Problems». Nelle conclusioni, farò un ultimo riferimento a un articolo di Varzi pubblicato nel 2000, scritto con Philip Kitcher e intitolato «Some Pictures Are Worth 2 אo Sentences». Le parole configurazioni, geometry, shape e picture nei titoli degli articoli di cui mi occuperò sono dei buoni indizi per capire quale sia il filo rosso che lega a mio avviso tutti questi lavori. (shrink)

La geometría y el dibujo son herramientas esenciales para la expresión gráfica, quizás el lenguaje fundamental en los ámbitos de la arquitectura y la ingeniería. Aunque su importancia es innegable, muchos de los alumnos que abordan el estudio de la geometría la perciben como una materia abstracta y compleja, sin relación con la realidad, por lo que no les motiva suficientemente. Este trabajo presenta tres experiencias docentes dirigidas a solucionar este problema en las que se plantea un reto: la construcción (...) de una bóveda o una cúpula. De este modo, los alumnos tuvieron que investigar y entender diversos conceptos geométricos. (shrink)

Questo testo nasce da alcune indagini sul nesso tra matematica e filosofia in ambiente “accademico”. È interessante notare che l'esplorazione di tale nesso costituisce un felice tratto di continuità tra gli studi più classici e ...

This paper analyses the place of sortition in the political philosophy of Jacques Rancière. The idea of sortition is linked to a philosophical reflection on arithmetic equality and geometric equality. Thus, starting from an important work of Cornelius Castoriadis in this sense, we will analyze below the relationship of Rancière’s political philosophy with equality. Finally we will analyze the sortition and the place it occupies in his work. Bernard Manin’s work on ancient democracies and systems of representative government will help (...) us contextualize Rancière’s proposals on the use of random selection in politics. (shrink)

Antonio Ibáñez-Molina y Sergio Iglesias-Parro Dept. de Psicología, Universidad de Jaén, España El cerebro en acción es un sistema no … Read More →.

O caráter protocolar desempenhado pelas matemáticas na formulação do conceito cartesiano de ciência é amplamente difundido e frequentemente reinvocado na literatura especializada quando se trata de abordar a exigência apodítica inerente a este conceito. No entanto, pouco se explora o que a diversidade das disciplinas matemáticas bem como a relação entretida por elas permite trazer de elucidação à noção cartesiana de ciência. Nosso propósito consiste, aqui, em tomar posição quanto a um debate acerca do estatuto da álgebra e da (...) class='Hi'>geometria como disciplinas que fixam os lineamentos da teoria cartesiana do conhecimento ao exibirem o que Descartes reputaria como a aplicação ideal do intelecto. Trata-se de insistir, por vias que assinalam uma decisão teórica em favor de uma concepção mais intelectualista e menos imaginativa da ciência, que não há hesitação quanto ao papel primitivo e fundacional da álgebra se comparada à geometria. (shrink)

The "discovery" of non-Euclidean geometries had profound repercussions on the sciences and philosophy alike and opened a heated debate on the nature of space and on the origin of geometry and its axioms. At the heart of the discussion lay Kant’s doctrine of space. Nelson took part in this debate, rejecting the three main theories of time: the logical, the empirical and the conventionalist. Referring to J.F. Fries’ philosophy, he tried to demonstrate the a priori, synthetic nature of Euclidean axioms (...) and the merely logical character of non-Euclidean geometries. His attempt, though interesting, ended according to the Author of this essay in failure. (shrink)

El artículo documenta y analiza las vicisitudes en torno a la incorporación de Hilbert de su famoso axioma de completitud, en el sistema axiomático para la geometría euclídea. Esta tarea es emprendida sobre la base del material que aportan sus notas manuscritas para clases, correspondientes al período 1894–1905. Se argumenta que este análisis histórico y conceptual no sólo permite ganar claridad respecto de cómo Hilbert concibió originalmentela naturaleza y función del axioma de completitud en su versión geométrica, sino que además (...) permite disipar equívocos en cuanto a la relación de este axioma con la propiedad metalógica de completitud de un sistema axiomático, tal como fue concebida por Hilbert en esta etapa inicial.The paper reports and analyzes the vicissitudes around Hilbert’s inclusion of his famous axiom of completeness, into his axiomatic system for Euclidean geometry. This task is undertaken on the basis of his unpublished notes for lecture courses, corresponding to the period 1894–1905. It is argued that this historical and conceptual analysis not only sheds new light on how Hilbert conceived originally the nature of his geometrical axiom of completeness, but also it allows to clarify some misunderstandings regarding this axiom and the metalogical property of completeness of an axiomatic system, as it was understoodby Hilbert in this initial stage. (shrink)

Entre 1676 y 1680 Leibniz intentó conseguir un puesto remunerado en la Académie des sciencesque quedó vacante tras el fallecimiento de Roberval en 1675. Al mismo tiempo, Leibniz ofrece en cartas a Huygens varios métodos, recetas e invenciones que podrían ser de utilidad para la academia parisina: entre ellos encontramos el analysis situs, una discusión sobre el método de Becher para encontrar oro, la receta del fósforo, el método inverso de tangentes, la cuadratura aritmética y su propia red epistolar. La (...) hipótesis de este trabajo defiende que estas discusiones fueron presentadas a Huygens con la finalidad de conseguir el puesto remunerado en la Académie, lo cual no ha sido lo suficientemente tenido en cuenta en la literatura científica. (shrink)

El presente escrito muestra que Kant no tenía razón al afirmar que los axiomas de la geometría son juicios sintéticos a priori, tesis que constituye un punto fundamental de partida en la elaboración de su propuesta epistemológica y en su reflexión filosófica sobre el espacio y la geometría euclídea. La tesis falla en dos puntos: uno, al afirmar que los axiomas de la geometría tienen una validez apodíctica; y dos, al implicar que el conocimiento de la estructura espacial del mundo (...) se obtiene de forma a priori, independientemente de la observación y la experiencia. La aparición de las geometrías no euclídeas refuta la primera parte de la tesis y deja en vilo a la segunda; y, finalmente, la segunda parte de la tesis se va al traste con la teoría general de la relatividad de Einstein. Para lograr lo anterior, y teniendo siempre como referencia las ideas del propio Kant, se recurre a una exposición orientada históricamente por las ideas de los principales protagonistas del debate: Euclides, Newton, Leibniz, Kant, Poincaré y Einstein. (shrink)

History shows that up to 1870’s, the thermodynamic cycles, particularly Carnot’s cycle, were the most important heuristic instruments as much to formulate the general laws of physics as well to deduce the experimental laws. From this moment on, this instrument falls into disuse with surprising rapidity. At the end of this decade emerges a new thermodynamic formulation, proposed by Gibbs, the thermodynamics of the potentials. This sudden transition from thermodynamic of cycles to potentials was triggered by the difficult to approach (...) the emergence of the phase transition phenomena with the diagrammatic method. The main objective of the article is, then, to analyze the consequences of the substitution, by Gibbs, of the diagrammatic by the geometric method, particularly, its heuristic potential related to the proposal of the formulation of the thermodynamic of potentials. (shrink)

O objetivo do ensaio é compreender como Agostinho e Espinosa empregam a geometria na exposição de seus sistemas, tendo como foco o aspecto didático, devidamente sublinhado e discutido por cada um deles. Conclui-se que tal recurso é comum aos dois filósofos em sentido semelhante, sobretudo pela perspectiva da aplicação didática. No entanto, o modo de promover o uso da geometria segue orientações distintas em cada um dos sistemas. Enquanto Agostinho evoca a matemática para reforçar o desligamento dos sentidos (...) corporais, Espinosa se vale do expediente dos matemáticos para pensar não o desligamento dos sentidos, mas a reordenação das afecções corporais do aprendiz. (shrink)

La propuesta fenomenológica de Husserl, aunque se inició con un estudio sobre la naturaleza del número y las funciones matemáticas, abarca mucho más que eso. Se conocen una serie de ensayos editados póstumamente en el tomo XXI de la serie Hussserliana que abarcan los años 1890-1908, y que se enfocan en comprender los avances de la geometría (euclidiana y no euclidiana) y el papel que desempeña en la constitución del espacio físico. Los estudios sobre geometría euclidiana y no euclidiana continuarían (...) así la investigación de Filosofía de la aritmética, ya que ambos comparten los Grundgedanken, es decir, el conjunto de herramientas y temas relacionados con la noción de representación simbólica. El objetivo de este artículo es presentar de manera general los principales problemas a los que Husserl se enfrenta en relación con temas geométricos y espaciales. Se intentará reconstruir, de manera histórico-crítica, aspectos esenciales sobre los temas y problemas de la filosofía de la geometría tal y como Husserl la desarrolla en sus primeras obras fenomenológicas. (shrink)

Origin of Geometry and Origin of the Work of Art: Reduction, Truth, and History in Husserl and Heidegger Husserl’s The Origin of Geometry and Heidegger’s The Origin of the Work of Art were surprisingly developed in parallel and deal with the same subject, the question of the origin: of a science, in one case, and of the artwork, in the other. From their comparison, the different conception that Husserl and Heidegger have of origin and truth clearly emerge. It concerns what (...) Heidegger identified as the real point of his divergence from Husserl, when they tried to write the entry “Phenomenology” for the Encyclopaedia Britannica, namely the method of reduction. For Husserl, the reduction opens up a material content, an essence, which ensures the persistence of truth in historical transmission, beyond linguistic variability, as happens in geometry; for Heidegger, reduction brings to light the ontological and, we might say, grammatical condition of truth, that is, its being an event and giving rise to an original syntax, to a world. This is the function of the work of art, whose essence consists in its mere being-made, in its being, that is, a work: the actualization of a possibility. (shrink)

Este trabajo se propone una interpretación de Introducción a “Origen de la geometría” de Husserl de Derrida a la luz de la cuestión de lo literario. Con esto no nos referimos a la literatura como institución, sino a determinada comprensión de la naturaleza del lenguaje en términos no idealistas. Por un lado, se señalará la pregnancia de este tópico en los desarrollos específicos del texto derridiano, mostrando que es fundamental para abordar su crítica a “la exigencia de visibilidad” en Husserl. (...) Por otro, se otorgará una contextualización crítica al interior de su camino intelectual que secundará la relevancia otorgada a nuestro desarrollo. (shrink)