Princípios lakatosianos e a abordagem de problemas matemáticos na perspectiva do PBL: possíveis contribuições Resumo: Imre Lakatos foi um importante filósofo do século XX que abordou conhecimentos relacionados à ciência e à Matemática. Esta última é fortemente explorada na obra Provas e Refutações e é tratada neste artigo como base essencial para se explorar princípios lakatosianos relacionados à abordagem de problemas matemáticos. Tal perspectiva é abordada aqui sob o enfoque do Problem-Based Learning (PBL). O objetivo é (...) explorar possíveis relações entre determinadas contribuições filosóficas de Lakatos e uma abordagem em torno de problemas. Este artigo estrutura-se em bases de uma pesquisa qualitativa, de caráter exploratório e bibliográfico. Pretende-se contribuir com a ampliação de estudos e reflexões envolvendo o campo da Filosofia e da Educação Matemática. Palavras-chave: Lakatos; Filosofia da Matemática; Provas e Refutações; Problemas matemáticos; PBL. Lakatosian principles and the approach of mathematical problems from the perspective of the pbl: possible contributions Abstract: Imre Lakatos was an important philosopher of the twentieth century who addressed knowledge related to science and mathematics. The latter is strongly explored in the work Proof and Refutation and is treated in this article as an essential basis for exploring Lakatosian principles related to the approach to mathematical problems. Such perspective is approached here under the Problem-Based Learning (PBL) approach. The aim is to explore possible relationships between certain philosophical contributions by Lakatos and an approach to problems. This article is structured on the basis of a qualitative, exploratory and bibliographic research. It is intended to contribute to the expansion of studies and reflections involving the field of philosophy and mathematical education. Key-words: Lakatos; Philosophy of mathematics; Proof and Refutation; Mathematical problems; PBL. Principios lakatosianos y el enfoque de los problemas matemáticos desde la perspectiva del pbl: posibles contribuciones Résumé: Imre Lakatos fue un importante filósofo del siglo XX que abordó los conocimientos relacionados con las ciencias y las Matemáticas. Este último está fuertemente explorado en el trabajo Pruebas y Refutación y se trata en este artículo como una base esencial para explorar los principios lakatosianos relacionados con el enfoque de problemas matemáticos. Esta perspectiva se aborda aquí bajo el enfoque de aprendizaje basado en problemas (ABP). El objetivo es explorar las posibles relaciones entre determinadas aportaciones filosóficas de Lakatos y una aproximación a los problemas. Este artículo se estructura a partir de una investigación cualitativa, exploratoria y bibliográfica. Se pretende contribuir a la expansión de estudios y reflexiones que involucren el campo de la filosofía y la educación Matemática. Mots-clés: Lakatos ; Filosofía de las Matemáticas ; Pruebas y Refutación ; Problemas matemáticos ; PBL. Financiamento de Pesquisa: CAPES Data de registro: 06/03/2021 Data de aceite: 18/08/2021. (shrink)

La siguiente ponencia-taller tiene por finalidad explicar cómo podría aplicarse el Método de George Polya para resolver problemas (matemáticos) en el contexto de la Lógica Matemática, especialmente en la lógica Matemática elemental (la lógica de primer orden con identidad). Es una propuesta pedagógica experimental (además de las ya existentes) que tal vez pueda ser útil para la enseñanza de la lógica matemática en ciencias o en humanidades. Dicha ponencia se presentó (vía web) con motivo de la celebración del (...) Día Mundial de Lógica 2022 en dos ocasiones: En la Universidad Central de Venezuela (Venezuela) y en la Universidad Mayor de San Andrés (Logic & Analytics Group - La Paz y La Sociedad Científica de Filosofía de la UMSA, Bolivia). Es un proyecto pedagógico en construcción. (shrink)

Resumo: Palavras-chave : Learning mathematics in school is being faced with a world of concepts that involves reading and understanding of the natural language and mathematical language. Often, the curriculum components, Portuguese language and the Mathematic don’t talk to each other. The resolution of the problems seems to be a critical point in mathematics education. This article seeks to bring these components together to identify strategies for an effective learning. Keywords : Mathematical language.Natural language. Problems. : Linguagem matemática. Linguagem natural. (...) Problemas. Aprender Matemática na escola é deparar-se com um mundo de conceitos que envolvem leitura e compreensão, tanto da linguagem natural como da linguagem matemática. Muitas vezes, os componentes curriculares, a Língua Portuguesa e a Matemática não dialogam. A resolução de problemas parece ser um dos pontos críticos na Matemática escolar. Este artigo aproxima esses componentes de forma a buscar estratégias para uma aprendizagem efetiva. (shrink)

Aprender Matemática na escola é deparar-se com um mundo de conceitos que envolvem leitura e compreensão, tanto da linguagem natural como da linguagem matemática. Muitas vezes, os componentes curriculares, a Língua Portuguesa e a Matemática não dialogam. A resolução de problemas parece ser um dos pontos críticos na Matemática escolar. Este artigo aproxima esses componentes de forma a buscar estratégias para uma aprendizagem efetiva.

Esta pesquisa teve por objetivo investigar e propor um modelo matemático de otimização voltado para a identificação de cardápios formados por refeições diárias capazes de atender aos parâmetros nutricionais estabelecidos por profissionais de nutrição, identificando composições saudáveis entre pratos principais e acompanhamentos, gastronomicamente harmonizados e diversificados, e ainda, ao menor custo possível (custo mínimo). Com base em um problema de programação linear binário, no qual assumiu-se o valor 1 (um) para as combinações de receitas de pratos (principal e acompanhamento) a (...) serem utilizados na composição das refeições de dietas nutricionalmente parametrizadas e, consequentemente, na formação do cardápio mensal, ou valor 0 (zero) em caso contrário, a aplicação computacional do modelo proposto, baseada em dados reais, resultou na composição de uma dieta formada por combinações de receitas de pratos saudáveis, segundo os parâmetros nutricionais e gastronômicos estabelecidos, e ainda, que permitissem diversificar o respectivo cardápio e apurar o menor custo total possível para a referida dieta. (shrink)

El artículo estudia la presencia de los cuadrados mágicos matemáticos en al-Andalus. Después de un repaso introductorio a la historia de dichos cuadrados mágicos, al problema de su origen y a su desarrollo en el oriente islámico, se examinan los métodos de construcción de los cuadrados talismánicos que aparecen en dos manuscritos del tratado de Azarquiel, el único sobre este tema conocido en al-Andalus, así como su recepción en Europa.

La autora aborda el problema de los entes matemáticos intermedios analizando MetafiSica l017a9-l4, por ser este pasaje, simultáneamente, fuente ycrítica de la teoría que Aristóteles atribuye a Platón. El objetivo es identificar cuatro puntos de orientación que ofrezcan una base para el diálogo entre las encontradas posiciones respecto del problema. Gracias a ellos, se pone de manifiesto que Aristóteles aborda la cuestión de la naturaleza inteligible de los entes matemáticos recortándola -con el bisturí del aparato conceptual de su (...) propia ousiología- de la perspectiva mucho más ampliade Platón. Al romper la continuidad entre matemática y dialéctica. Aristóteles"reduce" y demuele la imagen de la concepción matemática de Platón. (shrink)

En este artículo nos ocupamos del pasaje de Crítica de la razón pura en el que Kant examina de manera preliminar el problema de un esquematismo de los conceptos empíricos y matemáticos. Procuraremos demostrar que, pese a las apariencias en contra, en el texto en cuestión no se niega en absoluto la necesidad de este esquematismo. Al llevar a cabo esta tarea nos concentraremos asimismo en otras dificultades de lectura que presenta el mencionado pasaje.

En estos últimos años es reconocida la influencia de la dimensión emocional en el desarrollo del aprendizaje en el aula. Sin embargo, parece necesario un mayor desarrollo de los descriptores básicos: actitudes, emociones, creencias y valores en disciplinas concretas. El artículo aborda el tema de los valores y actitudes de las Matemáticas y de forma específica el valor de la belleza. Se argumenta sobre la importancia del juicio estético como una componente importante en el buen resolutor de problemas, explicitando (...) sus implicaciones para la educación matemática de los estudiantes. (shrink)

El objetivo del presente artículo es ofrecer una interpretación de la doctrina del esquematismo de los conceptos empíricos y matemáticos presentada por Kant en su Crítica de la razón pura. Mostramos que los esquemas de los conceptos empíricos y matemáticos son procedimientos de síntesis gobernados por reglas conceptuales. Aunque no consideramos que esta doctrina kantiana carece de problemas, nuestro trabajo muestra que: 1) esos esquemas pueden distinguirse rigurosamente de sus correspondientes conceptos; 2) esos esquemas no son entidades (...) superfluas. Estas conclusiones se alcanzan mostrando que el contenido de un concepto determina la unidad de elementos sensibles que tiene que ser efectuada por un esquema en tanto procedimiento de síntesis. (shrink)

O seguinte artigo tem como objetivo apresentar o problema das ideias de natureza simples para o desenvolvimento da ciência. Partindo da perspectiva de Gaston Bachelard, apresentaremos dois casos específicos da geometria e da física em relação ao problema da simplicidade de suas noções de base, desde as dificuldades ocasionadas pela simplificação até a superação realizada pelo desdobramento das ideias simples de “paralelas” e “simultaneidade” através do desdobramento dessas noções. A ciência contemporânea ao utilizar como ferramenta metodológica a teorização matemática, descobre (...) que os fenômenos estudados por ela são compostos por diversos tipos de relações que escapam a análise puramente empírica. A matemática consegue examinar de maneira mais profunda o fenômeno, e descobre que aquilo que parece simples aos sentidos, é na realidade, complexo, pelo fato de ser composto por uma diversidade de elementos. O pensamento científico moderno com base no cartesianismo procurava sempre partir da análise daquilo que é considerado simples, e desse modo, acaba mutilando algumas características que compõe os fenômenos. O método matemático possibilita a deformação das ideias simples, permitindo que a ciência contemporânea altere quando necessário suas noções de base. Os avanços na área da física e da geometria são exemplos de reformulação de pensamento, devido à alteração dos princípios simples sobre os quais estavam assentados. (shrink)

Para matemáticos interesados en problemas de fundamentos, lógico-matemáticos y filósofos de la matemática, el axioma de elección es centro obligado de reflexión, pues ha sido considerado esencial en el debate dentro de las posiciones consideradas clásicas en filosofía de la matemática (intuicionismo, formalismo, logicismo, platonismo), pero también ha tenido una presencia fundamental para el desarrollo de la matemática y metamatemática contemporánea. Desde una posición que privilegia el quehacer matemático, nos proponemos mostrar los aportes que ha tenido el (...) axioma en varias áreas fundamentales de la matemática, su aplicación en la lógica de primer orden, así como una breve descripción de las pruebas de consistencia relativa debidas a Gödel y Cohen, las cuales establecieron su independencia del sistema axiomático Zermelo-Fraenkel (ZF). Con todo lo anterior mostraremos cómo el quehacer matemático contemporáneo se adscribe al platonismo matemático en los términos de Bernays y Ferreirós. Revisaremos también los argumentos de Zermelo y Cantor para permitir el uso de asunciones en la matemática, los cuales se acercan a los planteamientos de la investigación científica y esbozan relaciones con la filosofía de la práctica matemática. Finalmente, justificamos el uso del axioma de elección en la contemporaneidad, abogando por unas relaciones de equidad entre la matemática y la filosofía, presentando además su plena vigencia, a través de la referencia a algunos problemas abiertos en la actualidad que vinculan el axioma de elección con la teoría de Ramsey. (shrink)

Presentamos una síntesis del modelo teórico sobre el conocimiento y la institución matemática en cuya elaboración venimos trabajando desde hace varios años y que proporciona herramientas conceptuales y metodológicas para plantear y abordar problemas de investigación en didáctica de las matemáticas. Como rasgos característicos destacamos la articulación de las facetas institucionales y personales del conocimiento matemático, la atribución de un papel clave a los recursos expresivos y la asunción coherente de supuestos pragmáticos y realistas sobre el significado de los (...) objetos matemáticos. El modelo de cognición matemática elaborado se adopta como elemento clave sobre el que basar el desarrollo de una teoría de la instrucción matemática significativa. (shrink)

En este artículo pretendo discutir la conclusión a la que llega Weyl en su libro _El continuo_ sobre la relación entre el continuo intuitivo y el matemático. Esto me sirve a su vez para analizar más profundamente estas ideas, y postular la propiedad de ausencia de espacios vacíos [_Lückenlosigkeit_] como fundamento del continuo intuitivo y, en consecuencia, del matemático. Proponiendo además una alternativa idealista para el tratamiento del problema del continuo.

En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera década del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decidibilidad de los (...) class='Hi'>problemas matemáticos y en específico la decidibilidad de la Lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decidibilidad de la Lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert. (shrink)

Este trabajo analiza las implicancias de la relación comprensión lectora y resolución de problemas en matemática por medio de un análisis detallado de la formulación lingüística de problemas matemáticos y su resolución en un manual de apoyo docente elaborado para este propósito. De esta forma, se detallan diferentes enunciados de problemas en matemáticas para analizar desde su estructura verbal -conforme a una complejidad creciente e integrada- a fin de exponer su impacto enlas posibilidades de resolución por (...) parte de los estudiantes universitarios de primeraño en la Facultad de Ingeniería de la UC Temuco. (shrink)

Resumo Neste artigo, será discutida a noção de “infinitude cardinal” – a qual seria predicada de um “conjunto” – e a noção de “infinitude ordinal” – a qual seria predicada de um “processo”. A partir dessa distinção conceitual, será abordado o principal problema desse artigo, i.e., o problema da possibilidade teórica de uma infinitude de estrelas tratado por Dummett em sua obra Elements of Intuitionism. O filósofo inglês sugere que, mesmo diante dessa possibilidade teórica, deveria ser possível predicar apenas infinitude (...) ordinal. A questão principal surge do fato de que parece ser problemático predicar ordinalmente infinitude de “estrelas”. Mesmo diante dessa possibilidade, Dummett sugere que o intuicionista poderia apenas reinterpretar infinitude cardinal como sendo infinitude ordinal. Ora, iremos mostrar que, se Dummett não fornece razões extras que sustentem essa posição, então será difícil interpretar um caso empírico infinitário como sendo também um caso ordinal ou potencial de infinitude. Para resolver esse problema de Dummett, em Brouwer se encontram alguns pressupostos idealistas necessários para argumentar em favor da ideia de que, mesmo em um contexto empírico, como o de uma infinitude de estrelas, poderíamos predicar infinitude ordinal. Então, depois de discutir as duas noções de “infinitude” e apresentar o problema de Dummett, será apresentada a abordagem idealista de Brouwer – a qual pelo menos explicaria de modo mais plausível as razões que poderiam motivar um intuicionista a predicar infinitude ordinal até mesmo de um caso empírico e espacial. (shrink)

En este artículo se presentan algunos aspectos sobre el problema de existencia en matemáticas, tomando como referencia el infinito actual. En primer lugar se describe las concepciones de los antiguos sobre el infinito y los argumentos aristotélicos para negar la existencia del infinito actual. En seguida se describe la incorporación del infinito actual a las matemáticas establecido por Georg Cantor entre 1880 y 1896. A continuación se aborda el problema de la existencia en matemáticas planteado por los matemáticos franceses (...) Borel, Baire y Lebesgue. A partir del problema de la existencia efectiva en cada uno de los niveles de Baire, se describen las cuatro categorías existenciales, planteadas por el matemático ruso Nicolás Lusin; luego se analiza la posición de Lusin en términos de la teoría de la “tematización”, introducida por Jean Cavaillès y Jean-Louis Gardies. Al final se argumenta la necesidad de establecer una filosofía de las matemáticas desde el interior mismo de las matemáticas. (shrink)

De acordo com o estruturalismo matemático, a matemática não consiste no estudo de objetos matemáticos, mas de estruturas. Ao afastar-se dos objetos, o estruturalista reivindica uma posição que lhe permite resolver o problema do “acesso”: é possível explicar a possibilidade do conhecimento matemático sem exigir qualquer acesso aos objetos em questão. Fraser MacBride criticou a resposta estruturalista, argumentando que esta enfrenta um dilema na tentativa de resolver o problema em apreço. Neste artigo, argumento que o dilema de MacBride pode (...) ser resistido e que, especialmente na versão articulada por Michael Resnik, o estruturalismo pode resolver o problema do “acesso”. Mostro exatamente como o dilema de MacBride falha, argumentando que esta falha nos fornece uma oportunidade para destacar uma característica importante do estruturalismo, a saber: a maneira pela qual ele articula uma imagem fundamentalmente diferente da epistemologia matemática com relação àquela sugerida pela epistemologia tradicional. (shrink)

El concepto de memoria social es una de las categorías que más relevancia adquirió en la producción teórica de Niklas Luhmann en los últimos años de su vida. Tal concepto se encuentra, en una buena parte, inspirado en la memory fuction descripta por el matemático inglés George Spencer Brown. La memoria social pretende dar cuenta de un rendimiento de memoria propio de la sociedad, independiente de las memorias de los sistemas psíquicos y neurofisiológicos. En este trabajo se abordará el tema (...) críticamente, poniendo atención en la operatividad de la memoria social, para poder observar a qué preguntas responde. Además, se analizará detenidamente el tipo de apropiación que hace Luhmann de la función de oscilador y memoria tomada de Spencer Brown, evaluando la consistencia de tal decisión. También será de suma importancia estimar si el sociólogo alemán arriba a una teoría de la memoria social capaz de desprenderse de la metáfora del almacén o depósito, tal como él dice haberlo hecho al proponer esta formulación.The concept of social memory is between those categories, which acquired more relevance in Niklas Luhmann’s theoretic production in the last years of his life. This concept is largely inspired in the memory function depicted by the English mathematician George Spencer Brown. Social memory tries to account for the own memory performance of society, which is independent from the memories of the psychic and neurophysiologic systems. This paper deals critically with this topic, focusing the attention on the operativity of the social memory, in order to observe to which questions it can answer. In addition, it will be carefully analyzed how Luhmann utilizes the Spencer Brown’s oscillator and memory functions, so to evaluate the consistency of Luhmann’s decision to include these concepts in his theory. It will also be of great importance to estimate if the German sociologist develops a theory of social memory with the capacity to get rid of the storage metaphor, as he expected to have done with this formulation. (shrink)

RESUMEN Este artículo busca contribuir a la elucidación del concepto de “problema” elaborado por Gilles Deleuze en Diferencia y repetición, analizando la presencia en dicho concepto del algebrista noruego Niels Henrik Abel. Deleuze atribuye a este matemático el haber creado un método que rompe con el “círculo vicioso” que consiste en calcar los problemas a imagen y semejanza de sus soluciones. Argumentaremos que esta interpretación de Deleuze se apoya en la obra de Jules Vuillemin La philosophie de l’algèbre, donde (...) se traza un paralelo entre el álgebra de Lagrange y la filosofía trascendental de Fichte para mostrar ese vicio común a sus métodos. Comenzaremos por reconstruir el mencionado “círculo vicioso”, para luego recorrer las características generales del problema algebraico y sus paralelismos con la filosofía crítica, señalando finalmente los puntos principales que Deleuze busca rescatar del método abeliano –presentado por Vuillemin como la superación de Lagrange. ABSTRACT This paper aims to shed light on the concept of “problem” developed by Gilles Deleuze in Difference and repetition by analyzing the presence in that book of the Norwegian algebraist Niels Henrik Abel. Deleuze attributes to this mathematician having invented a method that breaks the “vicious circle” which consists in tracing the problems to the image and similarity of the solutions. We will argue that Deleuze’s interpretation is based on Jules Vuillemin’s work La philosophie de l’algèbre, which draws a parallelism between Lagrange’s algebra and Fichte’s transcendental philosophy to show a common flaw in both their methods. We will begin by characterizing the aforementioned “vicious circle”, and then go through the general characteristics of the algebraic problem and its parallel with critical philosophy, in order to show, finally, the main features that Deleuze seeks to highlight in the abelian method – presented by Vuillemin as the overcoming of Lagrange. (shrink)

In this paper I will analyze some philosophically relevant aspects involved in the dissolution of Benacerraf’s problem of fixing the identity of natural numbers by Shapiro’s structuralism. My fundamental aim is to present three criticisms to Shapiro’s position –to his conception of language, to his characterization of structures as ante rem, and to his dramatic conception of ontology. Some of these criticisms will also be directed to Benacerraf’s identification problem.

La presente investigación tiene como propósito general asumir un posicionamiento filosófico en clave histórico-social y de tipo anti-relativista para analizar el desarrollo histórico de la matemática, el cual aplicaremos a un caso en particular: la matemática del antiguo Egipto. Para ello se discutirán y criticarán, en primera instancia, determinadas posiciones filosóficas afines al cuasi-empirismo en matemática que, siendo relativistas, permitirán delinear nuestro propio posicionamiento en contraste: la existencia de una «matemática situada». Esta categoría filosófica tendrá como sustento teórico la noción (...) de conocimiento situado. Además, las implicaciones de esta son, según sostenemos, tanto filosóficas como historiográficas, ya que servirá para analizar las características del corpus de problemas matemáticos egipcios registrados en los diversos papiros matemáticos. En particular, haremos referencia a las expresiones lingüísticas egipcias para denotar las diversas operaciones aritméticas y el carácter algorítmico de los problemas, así como también la cuestión epistemológica de la empiria y cómo la perspectiva situada permite superar la dicotomía entre una matemática pura y otra aplicada, que consideramos no es ubicua para abordar la interpretación de la práctica matemática del antiguo país del Nilo. Palabras clave: Filosofía de la matemática, Anti-relativismo, Matemática situada, Extrañeza del pasado, Matemática egipcia. (shrink)

It has been argued in relation to Old Babylonian mathematical procedure texts that their validity or correctness is self-evident. One “sees” that the procedure is correct without it having, or being accompanied by, any explicit arguments for the correctness of the procedure. Even when agreeing with this view, one might still ask about how is the correctness of a procedure articulated? In this work, we present an articulation of the correctness of ancient Egyptian and Old Babylonian mathematical procedure texts – (...) mathematical texts presenting the solution of problems. We endeavor to make explicit and explain how and why the procedures are reliable over and above the fact that their correctness is intuitive. (shrink)

Este trabajo discute el concepto de “heterogeneidad” y el problema de la aplicación en el “Esquematismo de los conceptos puros”, el primer capítulo de la Analítica de los principios en la Crítica de la razón pura de Kant. Propone, primero, una distinción entre la tesis de la heterogeneidad como independencia metafísica entre conceptos e intuiciones, por un lado, y la heterogeneidad como falta de homogeneidad en los componentes del juicio, por otro. El trabajo afirma que esta última, y no la (...) primera, genera el problema de la aplicación de las categorías a los fenómenos. Sostiene asimismo que, aunque el concepto de “aplicación” está presente en el problema de la validez objetiva de las categorías en la Deducción trascendental, la aplicación solo aparece como problema en el capítulo del Esquematismo. Sobre esta base, y en contraste con las lecturas “continuistas” predominantes que toman al Esquematismo como una parte de la problemática de la Deducción, este trabajo propone además que el Esquematismo representa un nuevo problema en el programa de Kant. Aunque afín a la lectura “discontinuista” de Mario Caimi (2015 y 2017), esta propuesta difiere de ella en un punto vital: cómo entender la distinción entre los esquemas trascendentales y los esquemas de los conceptos empíricos y de los matemáticos. Según nuestra propuesta, la heterogeneidad como falta de homogeneidad surge solo para la aplicacion de las categorías a los fenómenos, pero no para los conceptos empíricos y los matemáticos, así que los esquemas de los dos últimos no tienen un papel mediador. Finalmente, el trabajo sostiene que los esquemas matemáticos juegan un rol ejemplar en la solución al problema de la aplicación: Kant toma la idea de “esquema” como proceso reglado de su concepción del conocimiento matemático, y en este papel contribuyen a resolver el problema de la aplicación. (shrink)

Para favorecer la interacción disciplinar y recuperar la dimensión práctica del conocimiento matemático en la escuela secundaria, Yves Chevallard plantea la necesidad de introducir en los programas de estudio la matemática mixta. La matemática mixta, cuyo apogeo tuvo lugar en Europa entre los siglos XVI y XVIII, se propone el abordaje de problemas surgidos por fuera de la propia matemática valiéndose de nociones mecánicas -como la de centro de gravedad y fuerza centrífuga- y del empleo de variados instrumentos para (...) realizar las construcciones requeridas. En este trabajo consideramos a la matemática mixta en la cultura matemática de la segunda mitad del siglo XVII y, en dicho contexto, presentamos dos casos de la práctica matemática de G. W. Leibniz en los que la investigación matemática involucra el diseño de máquinas. La consideración de tales casos permite situar a la matemática mixta, siguiendo la terminología de Ian Hacking, en un terreno medio entre representar e intervenir. El terreno medio entre representar e intervenir es un valle fértil donde la matemática aporta a, y se nutre de, una multiplicidad de otros dominios. También es una vía de acceso para historizar el conocimiento matemático, destacando las condiciones materiales para su desarrollo y el importante rol de los problemas. Palabras clave: Práctica matemática, Resolución de problemas, Siglo XVII, Máquinas, Cultura material. (shrink)

A noção de objecto abstracto desempenha um papel central em diferentes debates filosóficos contemporâneos, da metafísica à estética, passando pela filosofia da linguagem. A sua origem está contudo relacionada com a filosofia da matemática e em particular, com o trabalho de Frege nos fundamentos da aritmética. O nosso primeiro objectivo será assim o de explicar o contributo desta noção para o entendimento Fregeano da realidade matemática. Veremos também que, em virtude de certas dificuldades inerentes ao projeto Fregeano, a dada altura (...) a natureza do universo matemático passou a ser entendida nos termos da chamada teoria dos conjuntos. Com este material à nossa disposição, podemos então discutir o papel desempenhado pela noção de objecto abstracto em certos debates filosóficos contemporâneos. Em particular, procuraremos ilustrar o interesse actual da noção, discutindo a distinção abstracto/concreto. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la formula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, únicamente como conjetura, que en el “Problema de los Seis hermanos” - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.The Mathematicians of the Old Babylonian Period, with the aid of a diagram and applying the surveyor formula, discovered a simple (...) and smart method to bisect trapezoidal figures. In this paper, we will try to demonstrate, only as a conjecture, that in the Problem of Six Brothers, Tablet AO 17264, it could be used the same procedure, although extended and generalized. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la formula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, únicamente como conjetura, que en el “Problema de los Seis hermanos” - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.The Mathematicians of the Old Babylonian Period, with the aid of a diagram and applying the surveyor formula, discovered a simple (...) and smart method to bisect trapezoidal figures. In this paper, we will try to demonstrate, only as a conjecture, that in the Problem of Six Brothers, Tablet AO 17264, it could be used the same procedure, although extended and generalized. (shrink)

No son muchos los textos en filosofía de las matemáticas que intentan dirigirse a la práctica matemática avanzada y, menos aún, aquellos que intentan acercarse a las matemáticas contemporáneas en acción. La lista de tales esfuerzos es bastante reducida—Pólya, Lakatos, Kline, Wilder, Kitcher acercándose a la matemática clásica; De Lorenzo, MacLane, Tymoczko haciéndolo a la matemática moderna; Badiou, Maddy, Patras a la matemática contemporánea—por lo que el trabajo de Corfield, ya sólo por situarse en esa línea minoritaria, merece una cierta (...) atención. El trabajo sin embargo cuenta con amplios méritos propios, más allá de apoyar una saludable línea alternativa, que se contrapone con las tendencias predominantes de la filosofía analítica o de la filosofía del lenguaje aplicadas al universo matemático. Desde el comienzo mismo, gracias a su polémico título, Towards a Philosophy of Real Mathematics, intenta romper con los prejuicios normativos al uso en la filosofía matemática, en particular con las “creencias entre filósofos de que el estudio de las mayores corrientes matemáticas recientes es innecesario”. Las matemáticas “reales” evocan la Apología de Hardy en donde el matemático inglés identifica matemáticas reales con matemáticas avanzadas, ya sea clásicas, del tipo Euler o Gauss, ya sea modernas, del tipo Galois o Riemann. Una amplia introducción presenta una argumentada defensa del valor de una perspectiva filosófica orientada hacia esas matemáticas no elementales, y exhibe algunos de los problemas mayores que emergen en esa aproximación, pero que, en cambio, el “filtro fundacionalista” no deja detectar: el estatuto de los bordes estructurales de las matemáticas, la conectividad de las diferentes teorías matemáticas, la evolución de los conceptos matemáticos, la contingencia del pensamiento matemático, la progresiva riqueza recursiva de las construcciones matemáticas. (shrink)

RESUMENAnalizamos la problemática actual en torno a la demostración matemática, con particular énfasis en las ideas introducidas por las demostraciones asistidas por ordenador y por la llamada matemática experimental. Examinamos además la influencia que pueden tener estas ideas sobre el concepto de demostración y proponemos una caracterización atendiendo a las diferentes funciones que puede desempeñar la demostración en su vertientes explicativa, comunicativa, sistematizadora, como incrementadora de la comprensión de resultados y como transmisora de conocimiento y convicción. Finalmente, se ofrecen algunas (...) conclusiones sobre problemas relacionados con la intuición, la lógica, la certeza, el conocimiento y el falibilismo, desde la perspectiva de las demostraciones, que favorecen una concepción cuasi-empirista de la matemática.PALABRAS CLAVEDEMOSTRACIÓN, DEMOSTRACIÓN ASISTIDA POR ORDENADOR, CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, CUASI-EMPIRISMOABSTRACTThe present problems about mathematical proof are analyzed, putting the emphasis on the ideas introduced by the computer-assisted proofs and by the so-called experimental mathematics. In addition, the influence that those may have on the concept of proof is examined, and a characterization is proposed taking into consideration the functions that such a concept of proof may perform according to its different aspects as explanation, communication, systematization, as a way to increase undestading of results, and as a way to transmit knowledge and conviction. Finally, and from this perspective on proofs, some conclusions are offered about problems connected with intuition, logic, certinty, knowledge and falibilism, that favor a quasi-empirical view on mathematics.KEYWORDSPROOF, COMPUTER,-ASSITED PROOF, MATHEMATICAL KNOWLEDGE, QUASI-EMPIRICISM. (shrink)

Desde inicios del siglo xx la filosofía parecía haber despachado la legitimidad del realismo, llamando a la descripción del mundo dentro de los límites de nuestra subjetividad. El agotamiento y los problemas de esta premisa filosófica han sido finalmente enunciados y señalados por el realismo especulativo. En el presente artículo mostramos de qué manera tres de sus representantes más reconocidos, Meillassoux, Harman y Gabriel, llevan a cabo esta tarea. Pero para evitar una posición ingenua, este realismo se expresa de (...) forma especulativa, es decir, a partir de argumentos lógicos, matemáticos y abstractos que no carecen de problemas. Después de una breve exposición de sus filosofías, presentamos problemas centrales en ellas que se derivan de una falta de reflexión sobre los recursos lógicos y matemáticos que emplean explícita o implícitamente. Mostramos que la constante en todos ellos consiste tanto en un desconocimiento de las paradojas de autorreferencia que ponen en juego, como en la falta de una teoría de relaciones reales que explique las relaciones sujeto-objeto y objeto-objeto. Concluimos con una breve referencia a Fréredic Nef para mostrar qué puntos debería considerar una teoría general de relaciones. (shrink)

Sabe-se que, durante alguns períodos da história, a Música e a Matemática foram ciências que compartilharam seus conceitos e discussões. Um dos períodos no qual essa comunhão se deu de maneira significativa foi o Renascimento. A Música era então classificada como ciência e, pertencendo ao grupo das matemáticas, dividia seu espaço com a Aritmética, a quem era subordinada, com a Geometria e a Astronomia. Essa divisão foi transmitida através das obras do filósofo Sevério N. Boécio e prevaleceu durante o século (...) XVI, juntamente da noção de subalternação das ciências, provida na obra de Aristóteles e de seus comentaristas. Contudo, durante a segunda metade do século XVI, o cenário teórico foi sofrendo questionamentos e sendo por vezes reformulado. Tais reformulações tomaram várias formas, todavia, foi no diálogo entre dois autores específicos, Gioseffo Zarlino (1517-1590) e Vincenzo Galilei (1533?-1591), que a estrutura vigente foi realmente abalada. Neste artigo, pretendese mostrar a relevância da subalternação das ciências na discussão metodológica para a pretendida reformulação teórica, visto que um dos problemas metodológicos centrais da demonstração nas ciências matemáticas do século XVI foi a reconciliação entre as condições ideais, que governavam o mundo matemático, no caso específico o da Aritmética, e as condições reais do mundo físico natural. It is assumed that during specific periods in history Music and Mathematics were fields which had shared concepts and topics of discussion. A very well known period in which such a communion was specific prolific was the Renaissance. Music was then a mathematic science classified within the quadrivium. During the Renaissance, this conception was well known through the works of the philosopher Boethius and the notion of the subalternate sciences was disseminated through the works of Aristotle and his commentators. However, in the sixteenth century, reformulations were demanded by a number of authors. In the works of Gioseffo Zarlino (1517-1590) and Vincenzo Galilei (1533?-1591) the question on the classification of Music and Mathematics was specifically relevant in challenging the theoretic framework. Therefore, the aim of this article is to demonstrate the relevant role of the discussion on the subalternation of sciences, as it is known that one of the central methodological problems in the demonstration of sciences during the sixteenth century was the definition and reconciliation of the abstract mathematic object and the natural object. (shrink)

A teoria convergente da verdade de Peirce é uma abordagem intuitiva e razoável da verdade. No seu sentido mais geral, vincula a verdade aos resultados da investigação. De acordo com a máxima pragmática, Peirce percebeu que as consequências práticas de afirmações verdadeiras são de trazer investigações à fruição e resolver opinião. No entanto, a teoria da verdade de Peirce é muitas vezes difamada e mal-entendida. Argumenta-se, aqui, que uma vez que se entende que a teoria convergente é uma inferência e (...) generalização oriunda do notável teorema matemático conhecido como a Lei dos Grandes Números, e como esse teorema fornece certeza matemática à indução como o cerne do método científico, muitos dos problemas desaparecem. Parte do mal-entendido também se deve ao fato que Peirce tinha três sentidos distintos de convergência, os quais muitos comentadores confundem ou interpretam erroneamente. Com esse entendimento, será mostrado que ao contrário das análises de Cheryl Misak e Christopher Hookway, Peirce argumenta que investigação persistente por bons métodos não é apenas um ideal regulador para atingir a verdade – uma esperança intelectual – mas uma possibilidade comprovada matematicamente que já resultou em verdades estabelecidas. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la fórmula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, ónicamente como conjetura, que en el "Problema de los Seis hermanos" - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.

É bem conhecida a divergência entre as posições de Gottlob Frege e Bertrand Russell com relação ao tratamento semântico dado a sentenças contendo termos singulares indefinidos, ou seja, termos singulares sem referência ou com referência ambígua, tais como ‘Papai Noel’ ou ‘o atual rei da França’ ou ‘1/0 ’ ou ‘√4’ ou ‘o autor de Principia Mathematica’. Para Frege, as sentenças da linguagem natural que contêm termos indefinidos não formam declarações e portanto não são nem verdadeiras nem falsas. Já para (...) as sentenças da matemática, Frege defende que elas precisam ser corrigidas através da convenção forçada de uma referência não ambígua. Russell, por outro lado, aceita os termos indefinidos e propõe, através de sua teoria das descrições definidas, uma maneira de avaliar as sentenças em que eles ocorrem; e Quine amplia a teoria de Russell para abranger também os nomes com problemas de referência. Na prática da matemática são comuns os termos singulares indefinidos, sem referência, tais como ‘1/0 ’, ou com referência ambígua, tais como ‘√4’. Apesar de não haver uma sistematização rigorosa desta situação entre os matemáticos, há, no entanto, um conjunto de regras convencionais que tradicionalmente costumam ser aplicadas no tratamento matemático dos termos indefinidos. Nossa proposta é tomar a convenção matemática como inspiração e modelo para apresentar uma interpretação semântica formal para as descrições definidas e os nomes e utilizá-la como um argumento que favorece a abordagem de Russell relativamente à de Frege. (shrink)

En este artículo se examinan algunas implicaciones del naturalismo matemático de P. Maddy como una concepción filosófica que permite superar las dificultades del ficcionalismo y el realismo fisicalista en matemáticas. Aparte de esto, la mayor virtud de tal concepción parece ser que resuelve el problema que plantea para la aplicabilidad de la matemática el no asumir la tesis de indispensabilidad de Quine sin comprometerse con su holismo confirmacional. A continuación, sobre la base de dificultades intrínsecas al programa de Maddy, exploramos (...) un camino naturalista mejor motivado, el enfoque cognitivista corporeizado, y sugerimos que él permite explicar de manera adecuada la postulación de ciertos cardinales grandes, en particular, la aceptación de conjuntos no-construibles. (shrink)

Mathematics seems to have a special status when compared to other areas of human knowledge. This special status is linked with the role of proof. Mathematicians often believe that this type of argumentation leaves no room for errors and unclarity. Philosophers of mathematics have differentiated between absolutist and fallibilist views on mathematical knowledge, and argued that these views are related to whether one looks at mathematics-in-the-making or finished mathematics. In this paper we take a closer look at mathematical practice, more (...) precisely at the publication process in mathematics. We argue that the apparent view that mathematical literature, given the special status of mathematics, is highly reliable is too naive. We will discuss several problems in the publication process that threaten this view, and give several suggestions on how this could be countered.Las matemáticas parecen tener un estatuto especial cuando se las compara con otras áreas del conocimiento humano. Este estatuto especial está conectado con el papel de la demostración. Los matemáticos creen con frecuencia que este tipo de argumentos no deja margen para el error o la falta de claridad. Los filósofos de la matemática han distinguido entre una concepción absolutista y una falibilista del conocimiento matemático, argumentando que estas concepciones están relacionadas con una consideración de las matemáticas-en-proceso o en tanto que matemáticas ya hechas. En este artículo examinamos más de cerca la práctica matemática, más en concreto el proceso de publicación en matemáticas. Argumentaremos que la idea preconcebida de que la literatura matemática, dado el estatuto especial de las matemáticas, es altamente fiable, es demasiado ingenua. Discutiremos algunos problemas del proceso de edición que amenazan esta visión y haremos algunas sugerencias sobre cómo enfrentarlos. (shrink)

En las dos entregas anteriores abordamos el inicio de la evolución del pensamiento matemático, desde el uso de herramientas matemáticas para problemas de cálculo concreto en la antigua Babilonia, pasando por el inicio de las matemáticas abstractas, las demostraciones y el nacimiento de la “geometría por la geometría” desde la visión religioso-filosófica de Platón y los pitagóricos, hasta la síntesis de ambas visiones en las matemáticas de la India, China y el mundo árabe, que fue la puerta de entrada (...) de las matemáticas a Europa, alrededor del siglo XV. (shrink)

Para Galileo la Naturaleza tenía estructura geométrica. El atomismo veía los sistemas físicos como estructuras matemáticas; pero el atomismo es discontinuo y las magnitudes, continuas. Para unificar física y matemáticas, compuso la materia de átomos inextensos y las magnitudes continuas de infinitos elementos indivisibles, lo que planteó problemas físicos y matemáticos irresolubles pero estimulantes.

Ultrafilters are very important mathematical objects in mathematical research [6, 22, 23]. There are a wide variety of classical theorems in various branches of mathematics where ultrafilters are applied in their proof, and other classical theorems that deal directly with ultrafilters. The objective of this article is to contribute (in a divulgative way) to ultrafilter research by describing the demonstrations of some such theorems related (uniquely or in combination) to topology, Measure Theory, algebra, combinatorial infinite, set theory and first-order logic, (...) also formulating some updated open problems of set theory that refer to non-principal ultrafilters on N, the Mathias’s model and the Solovay’s model. -/- Resumen: Los ultrafiltros son objetos matemáticos muy importantes en la investigación matemática [6, 22, 23]. Existen una gran variedad de teoremas clásicos en diversas ramas de la matemática donde se aplican ultrafiltros en su demostración, y otros teoremas clásicos que tratan directamente sobre ultrafiltros. El objetivo de este artículo es contribuir (de una manera divulgativa) con la investigación sobre ultrafiltros describiendo las demostraciones de algunos de tales teoremas relacionados (de manera única o combinada) con topología, teoría de la medida, álgebra, combinatoria infinita, teoría de conjuntos y lógica de primer orden, formulando además algunos problemas abiertos actuales de la teoría de conjuntos que se refieren a ultrafiltros no principales sobre N, al Modelo de Mathias y al Modelo de Solovay. (shrink)