Para matemáticos interesados en problemas de fundamentos, lógico-matemáticos y filósofos de la matemática, el axioma de elección es centro obligado de reflexión, pues ha sido considerado esencial en el debate dentro de las posiciones consideradas clásicas en filosofía de la matemática (intuicionismo, formalismo, logicismo, platonismo), pero también ha tenido una presencia fundamental para el desarrollo de la matemática y metamatemática contemporánea. Desde una posición que privilegia el quehacer matemático, nos proponemos mostrar los aportes que ha tenido el axioma (...) en varias áreas fundamentales de la matemática, su aplicación en la lógica de primer orden, así como una breve descripción de las pruebas de consistencia relativa debidas a Gödel y Cohen, las cuales establecieron su independencia del sistema axiomático Zermelo-Fraenkel (ZF). Con todo lo anterior mostraremos cómo el quehacer matemático contemporáneo se adscribe al platonismo matemático en los términos de Bernays y Ferreirós. Revisaremos también los argumentos de Zermelo y Cantor para permitir el uso de asunciones en la matemática, los cuales se acercan a los planteamientos de la investigación científica y esbozan relaciones con la filosofía de la práctica matemática. Finalmente, justificamos el uso del axioma de elección en la contemporaneidad, abogando por unas relaciones de equidad entre la matemática y la filosofía, presentando además su plena vigencia, a través de la referencia a algunos problemas abiertos en la actualidad que vinculan el axioma de elección con la teoría de Ramsey. (shrink)

El objetivo de este trabajo es presentar en un solo cuerpo tres maneras de relativizar (o generalizar) el concepto de conjunto constructible de Gödel que no suelen aparecer juntas en la literatura especializada y que son importantes en la Teoría de Conjuntos, por ejemplo para resolver problemas de consistencia o independencia. Presentamos algunos modelos resultantes de las diferentes formas de relativizar el concepto de constructibilidad, sus propiedades básicas y algunas formas débiles del Axioma de Elección válidas o no válidas (...) en ellas. (shrink)

El denominado “problema de los términos teóricos” que inicialmente formuló Sneed surge de la interpretación que de los términos teóricos hace la concepción heredada. Esta lectura no se condice con la interpretación indirecta de los términos teóricos que Carnap realiza al utilizar postulados. Estos textos proponen una interpretación holística de las teorías científicas, sólo adecuadamente tratada en una semántica de mundos posibles. Andreas proporciona un tratamiento modal de los términos teóricos; nosotros presentamos estos resultados en términos de modelos de Kripke; (...) luego los extendemos con el fin de que sean capaces de distinguir entre axiomas y oraciones teóricas, generando un modelo capaz de tratarlos de manera diferenciada y que aporte nuevos resultados lógicos y filosóficos. (shrink)

Este artigo apresenta o sentido da sinonímia entre potência da razão e liberdade humana na Parte V da Ética, a partir de uma análise de seu prefácio, axiomas e quatro primeiras proposições. No decorrer de nossa análise mostramos porque a potência da qual trata Espinosa não é a de uma vontade livre, mas se identifica à potência da razão ou intelecto em realizar um império sobre os afetos, sendo precisamente o exercício deste governo o que oferece sentido à idéia de (...) liberdade humana em Espinosa. (shrink)

El objetivo de este artículo es presentar una demostración de un teorema clásico sobre álgebras booleanas y ordenes parciales de relevancia actual en teoría de conjuntos, como por ejemplo, para aplicaciones del método de construcción de modelos llamado “forcing” (con álgebras booleanas completas o con órdenes parciales). El teorema que se prueba es el siguiente: “Todo orden parcial se puede extender a una única álgebra booleana completa (salvo isomorfismo)”. Donde extender significa “sumergir densamente”. Tal demostración se realiza utilizando cortaduras de (...) Dedekind siguiendo el texto “Set Theory” de Jech, y otras ideas propias del autor de este artículo. Adicionalmente, se formulan algunas versiones débiles del axioma de elección relacionadas con las álgebras booleanas, las cuales son también de gran importancia para la investigación en teoría de conjuntos y teoría de modelos, pues estas son poderosas técnicas de construcción de modelos, como por ejemplo, el teorema de compacidad (permite construir modelos no estándar, etc) y el teorema del ultrafiltro, que permite construir ultraproductos (pueden ser usados para investigar problemas de cardinales grandes, etc). Se presentan algunas referencias de problemas abiertos sobre el tema. -/- The objective of this paper is to present a demonstration of a classical theorem on boolean algebras and partial orders of current relevance in set theory, as for example, for applications of model construction method called forcing" (with boolean algebras complete or with partial orders). The theorem to be proved is as follows: Any partial order can be extended to a single complete boolean algebra (up to isomorphism)". Where to extend means embed densely". Such a demonstration is done using Dedekind's cuts following the text Set Theory" of Jech, and other ideas of the author of this article. In addition, some weak versions of the axiom of choice related to boolean algebras are formulated, which are also of great importance for the research in set theory and model theory, since this are powerful model construction techniques, such as the compactness theorem (allows the construction of non-standard models, etc.) and the ultralter theorem, which allows the construction of ultraproducts (can be used to investigate problems of large cardinals, etc). Some references of open problems on the subject are presented. (shrink)

In the present paper we confront Martin- Löf’s analysis of the axiom of choice with J. Hintikka’s standing on this axiom. Hintikka claims that his game theoretical semantics for Independence Friendly Logic justifies Zermelo’s axiom of choice in a first-order way perfectly acceptable for the constructivists. In fact, Martin- Löf’s results lead to the following considerations:Hintikka preferred version of the axiom of choice is indeed acceptable for the constructivists and its meaning does not involve higher order logic.However, the version acceptable (...) for constructivists is based on an intensional take on functions. Extensionality is the heart of the classical understanding of Zermelo’s axiom and this is the real reason behind the constructivist rejection of it.More generally, dependence and independence features that motivate IF-Logic, can be formulated within the frame of constructive type theory without paying the price of a system that is neither axiomatizable nor has an underlying theory of inference – logic is about inference after all.We conclude pointing out that recent developments in dialogical logic show that the CTT approach to meaning in general and to the axiom of choice in particular is very natural to game theoretical approaches where metalogical features are explicitly displayed at the object language-level. Thus, in some way, this vindicates, albeit in quite of a different manner, Hintikka’s plea for the fruitfulness of game-theoretical semantics in the context of the foundations of mathematics. (shrink)

The purpose of this work is to explain how, with the proposition "cogito ergo sum", Descartes contradicts the A axiom from the Theory of knowledge of Leonardo Polo, by accepting the pasivenness of the knowledge and denying it as an operation of knowing an object, in wich the cognizant and the cognizance are one in act.

With this tract repudiating an attack by the Parisian bishop-theologian, Robert Ceneau, Bucer reveals an increasing accommodation to both Catholic tradition and Lutheran eucharistic theology. Marking out consensus, he significantly anticipates the Wittenberg Concord and the religious Colloquies.

Cuando G. K. Chesterton en su corto ensayo Aproximación al tomismo quiere resumir los descarríos o los logros de los sabios sobre la realidad, muestra las tres controversias generales del pensamiento: (1) la disolución de las cosas en las soluciones químicas del escepticismo, que es la controversia entre el flujo o la transición informe; (2) la difícil clasificación de las unidades ideales, que es la controversia entre realismo y nominalismo; y (3) el reconocimiento, también arduo, de la variedad cuando a (...) la vez se admite la unidad, que es el viejo acertijo metafísico de la unidad y lo múltiple. Este libro se concentra en la segunda controversia, sin el olvido de los otros dos problemas, en la persona de Guillermo de Ockham, el lógico sagaz que vivió entre los siglos XIII y XIV d.C. Las relaciones de la Literatura con la Filosofía o con la ciencia no se acaban en la especulación poética o estética de motivos filosóficos, mucho más que esto, se extienden a la práctica o ejercicio de los conceptos filosóficos. Erguido en este principio, he rescatado a la figura de Guillermo de Ockham, así como al debate por la realidad o no de las Ideas, en composiciones literarias de Carlos Fuentes, Jorge Luis Borges, Umberto Eco, el ya mencionado G. K. Chesterton, y más. (shrink)

Few theses characterize more especifically the metaphysics of Aquinas than the thesis of the real distinction between being and essence, the thesis of being as the act of the essence, the thesis of the ontological contingency of the universe and the conception of the cause of the existence of things as subsistent being. The aim of the present work is to prove that these theses, as well as others derived from them, like the claim of the identity of essence and (...) being in God and that of God’s simplicity, result from the previous absolutization of essence, that is, from Aquinas’ essencialist and ontologizing interpretation of the fact that existent individuals are not explicitly mentioned in definitions. (shrink)

The axiom Extra Ecclesiam nulla salus was drawn up by Cyprian of Carthage in the middle of the third century. In the Middle Ages it was essential for the pontifical theocracy with popes like Gregory VII (Dictatus papae, 1075) Inocent III (IV Lateran Council, 1215) and Boniface VIII (Bull Unam Sanctam , 1302).With the necessary adaptations and nuances (St. ThomasAquinas in the XIIIth century; the theologians of Salamanca in the XVIth century, the II Vatican Council in the XXth century) the (...) controversy around this maxim has reached our days. (shrink)

El presente artículo presenta una propuesta. Tal propuesta versa sobre la negación como operación prosecutiva y se expone desde la globalidad suscitante. Se propone que la negación (o la generalización) es una heurística sobre el pensamiento. El culmen de esta actividad es la intelección del axioma D.

El artículo documenta y analiza las vicisitudes en torno a la incorporación de Hilbert de su famoso axioma de completitud, en el sistema axiomático para la geometría euclídea. Esta tarea es emprendida sobre la base del material que aportan sus notas manuscritas para clases, correspondientes al período 1894–1905. Se argumenta que este análisis histórico y conceptual no sólo permite ganar claridad respecto de cómo Hilbert concibió originalmentela naturaleza y función del axioma de completitud en su versión geométrica, sino (...) que además permite disipar equívocos en cuanto a la relación de este axioma con la propiedad metalógica de completitud de un sistema axiomático, tal como fue concebida por Hilbert en esta etapa inicial.The paper reports and analyzes the vicissitudes around Hilbert’s inclusion of his famous axiom of completeness, into his axiomatic system for Euclidean geometry. This task is undertaken on the basis of his unpublished notes for lecture courses, corresponding to the period 1894–1905. It is argued that this historical and conceptual analysis not only sheds new light on how Hilbert conceived originally the nature of his geometrical axiom of completeness, but also it allows to clarify some misunderstandings regarding this axiom and the metalogical property of completeness of an axiomatic system, as it was understoodby Hilbert in this initial stage. (shrink)

El autor, tras darnos un trasfondo de las situaciones de condicionamiento que afectan a otros seres, y ver que existe un paralelo posible y una distinción evidente con los seres humanos, construye a través de una serie de axiomas, hipótesis, definiciones y propuestas una argumentación que favorezca un cambio posible a quienes estés dispuestos a emprender el sueño, a partir del propio cambio.

l. "Los axiomas de un sistema axiomático deben ser autoevidentes". ¿Cómo son, entonces, autoevidentes? ¿Qué ocurre si dijera: así es como lo encuentro mas fácil de imaginar. Y aquí imaginar no es un proceso mental particular en el cual uno cierra sus ojos o los cubre con las manos.

O método axiomático é considerado uma das principais ferramentas para a sistematização do conhecimento. Inaugurado na Grécia antiga, o método axiomático passou por grandes mudanças ao longo da história. Este artigo busca estabelecer as fases de evolução da abordagem axiomática. Divide-se a axiomática em três categorias: concreta, abstrata ou formal. Divide-se em a axiomática três categorias: concreta, abstrata ou formal. Em um segundo momento, o artigo aproxima a utilização do método axiomático na física quântica, através da apresentação informal da axiomática (...) de uma lógica não-reflexiva. Batizada pelo filósofo e lógico brasileiro Newton da Costa como Lógica de Schrödinger, sua motivação encontra-se na posição teórica perante o status ontológico das entidades postuladas pela física quântica, denominada Received View. (shrink)

O primeiro axioma da parte V da Ética de Espinosa suscita a interpretação do sujeito como espectador neutro ou sujeito vazio. A análise do termo “sujeito” mostra que Descartes empregava a palavra como substância, diferente da subjetividade kantiana; mas como explicar seu uso por Espinosa? A comparação desse axioma com o uso da “contrariedade” nas partes III e IV da Ética mostram em que sentido Espinosa emprega “sujeito”.

En la Ciencia de la lógica, Hegel toma distancia del sistema axiomático por diversas razones. En el presente trabajo, me propongo estudiar dichas razones y evaluar qué podemos aprender sobre la Lógica en función de esta discusión con la axiomática. Mostraré que Hegel toma distancia de la axiomática por (1) el carácter relativo de sus axiomas; (2) el carácter unidireccional de su inferencia; (3) el carácter limitado de la forma judicativa; (4) la arbitrariedad de sus definiciones y la suposición de (...) la dicotomía forma y contenido. Todo esto mostrará la inadecuación del método axiomático para la Lógica y revelará que la autoindagación de la razón exige suponer un condicionamiento multidireccional que evite el regreso al infinito y que permita pensar lo absoluto bajo una dinámica no lineal; además se advertirá la necesidad de recurrir a la forma del silogismo así como admitir una codeterminación de forma y contenido. (shrink)

Nosso objetivo é responder a uma questão proposta por Richard Heck no artigo “Formal Arithmetic Before Grundgesetze”. Heck indaga a respeito das razões pelas quais Frege levou quase oito anos para honrar suas promessas de concluir seu grandioso projeto de fundamentar a matemática na lógica. Embora Heck tenha fornecido algumas respostas, pensamos que uma discussão filosófica mais adequada ainda pode ser oferecida. Este artigo tentará preencher essa lacuna apresentando o que entendemos ser o problema central enfrentado por Frege em _Die (...) Grundlagen der Arithmetik_: a falta de um critério unificado para fixar o significado das proposições de identidade da matemática. Acreditamos que o filósofo alemão finalmente tenha decidido preencher essa lacuna, fornecendo uma nova interpretação para o conceito de “extensão”, uma que acrescentasse alguns refinamentos importantes a sua concepção anterior. O novo conceito assim construído permitiu a Frege unificar seu tratamento das proposições de identidade, incluindo em seu sistema um critério universal para decidir a verdade de qualquer proposição de identidade apoiado por sua famosa lei básica V. Assim, nossa alegação será que a resistência de Frege e as dúvidas sobre a inclusão do axioma V como uma lei lógica em seu sistema foram a causa primária desse atraso. (shrink)

Neste artigo, o trabalho seminal de Luciano Floridi “A Lógica de Estar Informado” é examinado em detalhes, em especial quais aspectos tornam tal lógica relevante para que a mesma não colapse em sistemas lógicos epistêmicos ou doxásticos conhecidos. Ao final, é apresentado um cenário para demonstrar que a refletividade da relação de acessibilidade não é necessária, e desse modo os axiomas de introspecção positiva e negativa podem ser descartados, e.g. quando se afirma que um agente pode deter uma informação sem (...) estar informado que ele detém uma informação. (shrink)

El autor estudió bachillerato con los jesuitas y fue él mismo jesuita durante veinticuatro años, doce de ellos como cura obrero. Estudió Filosofía y Teología y es licenciado en Filosofía por la Complutense y Teología por Comillas. En 1982 se secularizó pero siguió militando en comunidades y organizaciones creyentes tales como Comunidades cristianas populares, Cristianos por el Socialismo, Cristianos por la paz y algunas otras. Pero después de unos años de atormentado agnosticismo abandonó la fe. Ha publicado en esta misma (...) editorial un libro con sus experiencias titulado. “Confieso que he creído: un viaje de la fe al ateísmo”. Y ahora publica “Job se alza frente a Dios” que, según él mismo dice, “es una segunda parte o complemento de aquél, mucho más basado en la exégesis bíblica y en los avances científicos”. He aquí un resumen del mismo. Toda religión (al menos las tres grandes religiones monoteístas) parte de dos axiomas fundamentales: que existe un Dios personal y que ese Dios se ha revelado. El cristianismo sostiene además que Dios no sólo se ha revelado en la Biblia (la Palabra escrita) sino sobre todo en Jesús de Nazaret (la Palabra viva). Y por supuesto esa Revelación (la llamada) parte de Dios. Él tiene la iniciativa. La fe es la respuesta a esa llamada. Pues bien: esos dos axiomas configuran las dos partes del libro. En la primera se analiza la Biblia y la figura de Jesús de Nazaret mediante la exégesis histórico crítica. La Biblia no es un libro de historia sino un libro de fe fundamentado en una exigua base histórica. Es tarea de la exégesis determinar qué hay de fe y qué de historia en cada uno de los libros. Y las investigaciones actuales dictaminan que las teofanías y los milagros no son “hechos históricos” sino productos de la fe construidos a veces muchos siglos después de los hechos narrados. Del mismo modo la figura de Cristo es construida sobre la figura histórica de Jesús de Naz... (shrink)

Husserl developed – independently of Frege – a semantics of sense and reference. There are, however, some important differences, specially with respect to the references of statements. According to Husserl, an assertive sentence refers to a state of affairs, which was its basis what he called a situation of affairs. Situations of affairs could also be considered as an alternative referent for statements on their own right, although for Husserl they were simply a sort of referential basis. Both Husserlian states (...) of affairs and situations of affairs are extensional. Tarskian semantics can be rendered as a sort of state of affairs semantics. However, to assess adequately the existence of dual theorems in mathematics and, more generally, seemingly unrelated interderivable statements like the Axiom of Choice and its many equivalents, states of affairs are not enough. We need a sort of refinement of the notion of a situation of affairs, namely what we have called elsewhere an abstract situation of affairs. We are going to introduce abstract situations of affairs as equivalence classes of states of affairs denoted by closed sentences of a given language which are true in the same models. We first sketch the procedure for a first-order many-sorted language and then for a second-order many-sorted language.Husserl desenvolveu – independentemente de Frege – uma semântica do sentido e da referência. Contudo, há algumas diferenças importantes, especialmente com respeito às referências de enunciados. De acordo com Husserl, uma frase assertiva refere-se a um estado de coisas, que era sua base, o que ele chamou uma situação de coisas. As situações de coisas também poderiam ser consideradas como um referente alternativo para enunciados embora, para Husserl, elas fossem simplesmente um tipo de base referencial. Tanto os estados de coisas como as situações de coisas husserlianas são extensionais. A semântica tarskiana pode ser traduzida como um tipo de semântica de estado de coisas. Entretanto, para avaliar adequadamente a existência de teoremas duais em matemática e, de maneira mais geral, enunciados interderiváveis e aparentemente sem conexão, como o Axioma da Escolha e seus muitos equivalentes, os estados de coisas não são suficientes. Nós precisamos de um tipo de refinamento da noção de uma situação de coisas, a saber, o que nós chamamos de uma situação abstrata de coisas. Nós vamos introduzir as situações abstratas de coisas como classes de equivalência de estados de coisas denotadas por sentenças fechadas de uma determinada linguagem, as quais são verdadeiras nos mesmos modelos. Nós esboçamos o procedimento primeiro para uma linguagem multi-sortida de primeira ordem e então para uma linguagem multi-sortida de segunda ordem. (shrink)

O texto busca questionar a posição do filósofo Badiou quando ele afirma que a ontologia é as matemáticas. Badiou parte de uma concepção de que teríamos duas vozes sobre o ser. Por um lado, poderíamos pensar como Heidegger: para se fazer uma ontologia seria preciso buscar a essência da linguagem; por outro, poderíamos pensar como Badiou que concebe as matemáticas sendo a própria ontologia. O texto não pretende desenvolver a concepção de Badiou, mas questioná-la. Para isso, busco retomar o pensamento (...) heideggeriano e mostrar como sua concepção parte de um questionamento sobre o espírito matemático ao contrário de Badiou que assume como verdadeiro o axioma: “matemáticas = ontologia”. (shrink)

Schönberg ha sido uno de los compositores más decisivos del pasado siglo. Su propuesta musical, su intento de buscar nuevos lenguajes para expresarla, su diagnóstico de la muerte de la música tonal, puede ser equiparado con la constatación nietzscheana de la ¿muerte de Dios¿, con la pérdida de todos los axiomas últimos e inamovibles que suministran valor al mundo y sentido a la existencia. Ambos desarrollaron una visión trágico-musical del mundo, que no pesimista; ambos se acercaron a la realidad desde (...) la afirmación y la inocencia propias del artista, experimentando sus aspectos más disonantes con desconocida alegría y serenidad. (shrink)

Pese a no mencionar apenas a Spinoza, entre SN § 238 y Etica, II, 7 hay un manifiesto paralelismo. El parentesco léxico no sólo no es accidental, sino que es clave interpretativa de la SN. No obstante, la asunción viquiana, al introducir el tiempo dentro del propio vínculo entre el orden de las ideas y el de las cosas, comporta una crítica del axioma de Spinoza. Esta circunstancia permite aquí poner de nuevo a prueba los principios filosóficos de la (...) Scienza nuova.Vico’s references to Spinoza are very scarce, but there is a conspicous parallelism between SN § 238 and Etica; II, 7. The lexical relationship, far from being an accident is a very interpretative key for the SN. However, Vicos’s reprehension, by inserting time into the conection between the order of ideas and the order of things, involves a critic of Spinoza’s axiom. This is something that allows the philosophical principles of the New Science to be tested here again. (shrink)

La crisis es valorada fundamentalmente como una crisis económica, aunque en realidad afecta también a lo político y lo social. Por eso, la primera tarea debe consistir en replantear los axiomas de la economía que han desembocado en la creencia en el Homo economicus y la apología de la competitividad. Frente a ello, convendría desarrollar una política de la cooperación, que aquí recibe el nombre de contrademocracia. Esta cooperación no debería tener miedo del conflicto ni del rol, muchas veces problemático, (...) que debe desempeñar el otro, y ella encuentra su mejor ejemplificación en la concepción de la comunidad desarrollada por Jean-Luc Nancy y Roberto Esposito, lo que aquí llamamos una comunidad de la diferencia. (shrink)

Two key ideas of scientific explanation−explanation as causal information and explanation as unification-have frequently been set into mutual opposition. This paper proposes a “dialectical solution” to this conflict, by arguing that causal explanations are preferable to non-causal ones, because they lead to a higherdegree of unification at the level of explaining statistical regularities. The core axioms of the theory of causal nets (TC) are justified because they offer the best if not the only unifying explanation of two statistical phenomena: screening (...) off and linking up. Alternative explanations of the two phenomena are discussed and it isshown why they don’t work. It is demonstrated that although the core axioms of TC are empirically vacuous, extended versions of TC have empirical content by means of which they can generate independently testable predictions.Con frecuencia se han planteado como contrapuestas dos ideas clave en la explicacion cientifica (explicacion como informacion causal y explicacion como unificacion). El presente articulo propone una “solucion dialectica” argumentando que las explicaciones causales son preferibles a las no-causales porque aquellas comportan un mayor grado de unificacion en la explicacion de regularidades estadisticas. Los axiomas centrales de la teoria de redes causales (TC) estan justificados porque ofrecen la mejor, si no la unica, explicacion unificada de dos fenomenos estadisticos: neutralizacion (screening off) y vinculacion (linking up). Se discuten las explicaciones alternativas de estos dos fenomenos y se razona por que no funcionan. Se demuestra ademas que aunque los axiomas centrales de TC son empiricamente vacuos, las versiones extendidas de TC tienen un contenido empirico gracias al cual pueden generar predicciones independientemente contrastables. (shrink)