El objetivo del presente artículo es ofrecer una interpretación de la doctrina del esquematismo de los conceptos empíricos y matemáticos presentada por Kant en su Crítica de la razón pura. Mostramos que los esquemas de los conceptos empíricos y matemáticos son procedimientos de síntesis gobernados por reglas conceptuales. Aunque no consideramos que esta doctrina kantiana carece de problemas, nuestro trabajo muestra que: 1) esos esquemas pueden distinguirse rigurosamente de sus correspondientes conceptos; 2) esos esquemas no son entidades (...) superfluas. Estas conclusiones se alcanzan mostrando que el contenido de un concepto determina la unidad de elementos sensibles que tiene que ser efectuada por un esquema en tanto procedimiento de síntesis. (shrink)

En este ensayo presento un análisis comparativo entre los diversos procedimientos creados, respectivamente, por los matemáticos babilonios y Diofanto de Alejandría para resolver ecuaciones de segundo grado. Observaremos cómo los primeros recurrieron a la composición de diagramas mientras Diofanto aplicó un algoritmo abstracto que no consiguió generalizar.In this paper I present a comparative analysis among the diverse procedures invented respectively by the Babylonian mathematicians and Diophantus of Alexandria to solve quadratic equations. We will observe how the first ones (...) appealed to the composition of diagrams while Diophantus applied an abstract algorithm that he was not able to generalize. (shrink)

La historia de la matemática muestra como la intuición matemática ha estado presente en la invención y desarrollo de conceptos, teorías y procedimientos matemáticos. Así mismo, ha permeado el debate filosófico, los fundamentos de la matemática y los discursos educativos; otorgándole vigencia al estudio de este tema. En el presente artículo, se exponen los argumentos bajo los cuales es posible sustentar que la intuición es un proceso, que toma ideas que se presentan, inicialmente de manera “desordenada”, y que (...) gracias al contexto y los conocimientos previos del individuo las centran en una idea “fija” que será incorporada a la matemática por la lógica y la formalización. (shrink)

It has been argued in relation to Old Babylonian mathematical procedure texts that their validity or correctness is self-evident. One “sees” that the procedure is correct without it having, or being accompanied by, any explicit arguments for the correctness of the procedure. Even when agreeing with this view, one might still ask about how is the correctness of a procedure articulated? In this work, we present an articulation of the correctness of ancient Egyptian and Old Babylonian mathematical procedure texts – (...) mathematical texts presenting the solution of problems. We endeavor to make explicit and explain how and why the procedures are reliable over and above the fact that their correctness is intuitive. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la formula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, únicamente como conjetura, que en el “Problema de los Seis hermanos” - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.The Mathematicians of the Old Babylonian Period, with the aid of a diagram and applying the surveyor formula, discovered a simple (...) and smart method to bisect trapezoidal figures. In this paper, we will try to demonstrate, only as a conjecture, that in the Problem of Six Brothers, Tablet AO 17264, it could be used the same procedure, although extended and generalized. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la formula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, únicamente como conjetura, que en el “Problema de los Seis hermanos” - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.The Mathematicians of the Old Babylonian Period, with the aid of a diagram and applying the surveyor formula, discovered a simple (...) and smart method to bisect trapezoidal figures. In this paper, we will try to demonstrate, only as a conjecture, that in the Problem of Six Brothers, Tablet AO 17264, it could be used the same procedure, although extended and generalized. (shrink)

Con la ayuda de un diagrama y aplicando la fórmula del agrimensor, los matemáticos de la Antigua Babilonia descubrieron un método sencillo y elegante de bisecar figuras trapezoidales. En este trabajo intentaremos demostrar, ónicamente como conjetura, que en el "Problema de los Seis hermanos" - Tablilla AO 17264 - se pudo haber manejado este mismo procedimiento, aunque ampliado y generalizado.

La finalidad de este trabajo es mostrar las similitudes entre el proceder matemático, concretamente en la geometría, y la metodología desarrollada por Vico en la Scienza nuova ; pues, aunque los objetos de estudios sean distintos , los procedimientos para formar el objeto cognitivo son paralelos.The aim of this work is to show the similarities between mathematical method, concretely geometry, and Vico's methodology developed in the New Science. Even if the objects of study are so different , procedures to (...) shape the cognitive object are parallels. (shrink)

El estudio parte de la discusión de De anima, III, 11, 434a7-10: a diferencia de las interpretaciones más difundidas del pasaje, que dependen considerablemente del comentario de Filopón, aquí se busca reconstruir la actividad de medición, planteada en relación de analogía con la “imaginación deliberativa”, a la luz de procedimientos de descomposición y recomposición de figuras geométricas, muy difundidos en los siglos V-IV a.C., de los cuales se presentan también ilustraciones numismáticas. En la misma línea se puede situar tanto (...) la referencia de Ética Nicomáquea, III, 5, 1112b20-21 al “análisis” de las figuras, como el de Ética Nicomáquea, VI, 9, 1142a23-29 al triángulo como “extremo”. A este modelo metrético-espacial de la phantasia bouleutikē se añade uno de tipo logístico-temporal, que es mencionado en De anima, III, 7, 431b7-8 y en De memoria, 2, 453a15-16, con una interesante confirmación en Tucídides, I, 138, 3, donde Temístocles es comparado con un “habilísimo gnōmōn”. En ambos casos, los modelos matemáticos en los que se inspira el hombre que imagina mientras trata de comprender qué es obrar bien, aquí y ahora, no son productos refinados de ciencia teórica, sino que pertenecen a aquellas “matemáticas de los mercaderes”, que Platón desaconsejaba practicar para alcanzar la visión del verdadero bien La reseña no presenta resumen. (shrink)

En este artículo se examina la noción kantiana de exposición, que se encuentra en la Crítica de la razón pura y en la Crítica del Juicio. Se sostiene que hay una coherencia en el uso del concepto en la presentación de la doctrina de espacio y el tiempo, la explicación de las razones por las que el método matemático no puede ser empleado en la filosofía, la investigación analítica de los juicios de gusto y la descripción de la índole de (...) las ideas estéticas. La exposición se presenta en todos estos pasajes como un procedimiento de carácter discursivo que permite examinar, sin definirlas, representaciones conceptuales. (shrink)

En este artículo se examina la noción kantiana de las demostraciones matemáticas. Esta noción se encuentra desarrollada en el apartado titulado “Disciplina de la razón pura en su uso dogmático” de la _Crítica de la razón pura. _En este texto, Kant explica por qué los procedimientos exitosos en el conocimiento matemático resultan impracticables en metafísica. En primer lugar se estudian dos pasajes en los que el filósofo describe dos demostraciones: la demostración de la congruencia de los ángulos de la (...) base de un triángulo isósceles, y la demostración de que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a dos rectos. A continuación, se examina la descripción de la demostración matemática como una prueba apodíctica en la intuición. Este análisis muestra que la demostración matemática no constituye la misma clase de procedimiento presentado como demostración en los §§57 y 59 de la _Crítica del Juicio._. (shrink)

In the last papers published by Alchourrón, he attacked non-monotonic logics, which he considered philosophically unsound for the representation of defeasible reasoning. Instead of a non-monotonic consequence relation, he proposed a formal representation of defeasibility based on an AGM-like revision of implicit assumptions connected to the premises. Given that this is a procedure to generate non-monotonic logics, it is not clear, from a mathematical standpoint, why he was so suspicious of such logics. In the present paper we try to answer (...) this question based on Alchourrón' s convictions about epistemology, particularly the epistemology of law. We also propose another revision operator on theories called refinement, which provides a faithful representation of the sort of epistemic change considered by Alchourrón as intrinsic to defeasibility. En sus últimos escritos publicados, Alchourrón desarrolló un ataque contra las lógicas no-monotónicas, que consideraba filosóficamente inadecuadas a la representación del razonamiento derrotable. En vez de una relación de consecuencia no-monotónica, él propuso una representación formal de la derrotabilidad basada en un modelo de revisión de las asunciones implícitas ligadas a las premisas. Dado que éste es un procedimiento para generar lógicas no-monotónicas, no está claro -en el nivel matemático- por qué él era tan desconfiado de tales lógicas. En el presente texto intentamos contestar a esta pregunta basados en las convicciones de Alchourrón sobre epistemología, particularmente la epistemología jurídica. También proponemos otro operador de revisión aplicado a las teorías, llamado refinamiento, que proporciona una representación fiel de la especie de cambio epistémico considerado por Alchourrón como intrínseco a la derrotabilidad. (shrink)

En este artículo analizamos la noción de objeto matemático que tenían en la antigüedad clásica griega Platón y Aristóteles. En particular tratamos de probar que es erróneo interpretar la doble connotación que dicha noción exhibe en el pensamiento de Platón como expresión de una escisión ontológica que define dos tipos distintos de ‘objetos matemáticos’: los sensibles y los inteligibles. En el artículo defendemos que tal escisión es solo aparente puesto que en realidad lo que Platón introduce es una distinción (...) entre dos maneras distintas de relacionarse con los objetos matemáticos: la de los Filósofos y la de los no Filósofos. Mostramos además que nuestra interpretación permite aclarar las ambigüedades en torno al concepto μоνάς, y disolver la tensión entre la existencia de dos disciplinas aparentemente distintas dedicadas al estudio de los objetos matemáticos discretos, la λоγιστική y la ἀριθμητική. (shrink)

Resumen: La noción semántica de significado procedimental se propuso originalmente como una manera de explicar la contribución del léxico no conceptual a la interpretación. Los elementos procedimentales se consideraron en una primera etapa portadores de instrucciones para realizar inferencias pragmáticas. Entre otros factores, su rigidez frente a la maleabilidad del significado conceptual hizo pensar en dos tipos de semántica léxica para las lenguas naturales, una conceptual y otra procedimental. Recientemente, el estudio de las conductas naturales ostensivas y la visión de (...) la modularidad masiva de la mente han conducido a una perspectiva diferente sobre el papel de los elementos procedimentales según la cual estas unidades tienen una función más amplia, y operan como disparadores de procesos y esquemas cognitivos diversos que son externos al lenguaje pero intervienen en la comunicación. Su papel como orientadores de la inferencia pragmática es sólo uno de ellos. Aquí apoyo este planteamiento. Por otra parte, cada vez se ha vuelto más difícil sostener una visión del significado conceptual según la cual las palabras de contenido codificarían un concepto o un esquema léxico conceptual. Para resolver los problemas que genera esta postura, propongo que el significado conceptual tiene en común con el procedimental justo esta función disparadora. Defiendo que la codificación semántica no es constitutiva, y sostengo que, desde esta nueva perspectiva, la semántica conceptual comparte con la procedimental mucho más de lo que se pensaba hasta hace poco, ya que tanto la semántica de las palabras de contenido como la de las procedimentales consisten en activar estructuras informativas y procesos mentales asociados convencionalmente y de manera relacional a las unidades léxicas de una lengua natural.: The semantic notion of procedural meaning was originally proposed as a way to explain the contribution of non-conceptual vocabulary to interpretation. Procedural elements were seen as encoding instructions to perform pragmatic inferences. Their rigidity, as opposed to the malleability of conceptual meaning, led to the idea of two types of lexical semantics for natural languages, one conceptual and another procedural. Recently, however, the study of natural and spontaneous behaviours ostensively used, in combination with the influence of the massive modularity view of the mind, have brought a different perspective about the role of procedural elements in language. According to this stance, procedural elements would have a wider role, operating more generally as triggers of cognitive processes which are in principle external to language, but that are crucially involved in communication. Their role as orientators of pragmatic inference is only one of such processes. Here I support this view. On the other hand, it has become increasingly difficult to maintain a view of conceptual meaning that assumes that words encode concepts, or concept schemas. To tackle the problems this view faces, I suggest that conceptual items share with procedural ones precisely such a triggering function. I argue that semantic encoding is never constitutive, and I suggest that both types of semantics consist in activating informative structures and mental processes conventionally associated to the lexical items of natural languages. (shrink)

Esta pesquisa teve por objetivo investigar e propor um modelo matemático de otimização voltado para a identificação de cardápios formados por refeições diárias capazes de atender aos parâmetros nutricionais estabelecidos por profissionais de nutrição, identificando composições saudáveis entre pratos principais e acompanhamentos, gastronomicamente harmonizados e diversificados, e ainda, ao menor custo possível (custo mínimo). Com base em um problema de programação linear binário, no qual assumiu-se o valor 1 (um) para as combinações de receitas de pratos (principal e acompanhamento) a (...) serem utilizados na composição das refeições de dietas nutricionalmente parametrizadas e, consequentemente, na formação do cardápio mensal, ou valor 0 (zero) em caso contrário, a aplicação computacional do modelo proposto, baseada em dados reais, resultou na composição de uma dieta formada por combinações de receitas de pratos saudáveis, segundo os parâmetros nutricionais e gastronômicos estabelecidos, e ainda, que permitissem diversificar o respectivo cardápio e apurar o menor custo total possível para a referida dieta. (shrink)

Este trabajo pretende ser una contribución a algo que, yo creo, falta por reconocer a lo largo del texto kantiano, a saber, la interconexión entre los diferentes principios del entendimiento en orden al establecimiento de las características necesarias que debe cumplir todo objeto de la experiencia, el cual depende no sólo de la magnitud extensiva e intensiva (principios matemáticos), sino también del papel que juegan las categorías de relación y modalidad (principios dinámicos). Dividiré la exposición en tres partes. En (...) la primera, analizaré las condiciones que debe cumplir todo principio del entendimiento puro, o lo que es lo mismo, sus características. En la segunda, examinaré los argumentos centrales deLos axiomas de la intuición quantum y quantitas.En tercer lugar, intentaré esclarecer la paradójica cuestión que encierra anticipar la experiencia en su lado empírico, esto es, en la dimensión material del fenómeno, a saber, la naturaleza de la magnitud extensiva, la doctrina de la continuidad y los conceptos de quantum y quantitas. En tercer lugar, intentaré esclarecer la paradójica cuestión que encierra anticipar la experiencia en su lado empírico, esto es, en la dimensión material del fenómeno. (shrink)

Enigmatología es el término que ha sido usado para designar el estudio de los puzzles en la cultura humana. La estructura poética de los puzzles implica que quien intenta resolverlos debe literalmente imaginar escenarios que trasciendan un razonamiento lineal. En tiempo de Vico, el cartesianismo dominaba la escena académica de la época, haciendo que la vieja tradición, centrada en el estudio de la lengua y la literatura perdiera terreno frente a un énfasis puesto en la matemática, la filosofía crítica y (...) las ciencias. Los puzzles eran considerados como productos de un pensamiento lógico-racional. Pocos los consideraron como productos de una fuerza creativa más fundamental. El concepto de fantasia de Vico vino a proporcionar una poderosa estructura explicativa para comprender cualquier ingenio enigmatológico.Enigmatology is the term that has been used to designate the study of puzzles in human cultures. The poetic structure of puzzles implies that they require the solver to literally imagine scenarios in ways that transcend linear reasoning. In Vico's times, Cartesianism dominated the academic scene of the day, causing the older tradition, centered on the study of language and literature, to lose ground to an emphasis on mathematics, critical philosophy, and the sciences. Puzzles were viewed as products of rational-logical thinking. Few saw them as products of a more fundamental creative force. Vico's concept of fantasia came forward to provide a powerful explanatory framework for understanding enigmatological artifacts. (shrink)

La hipótesis que intentaremos defender en este trabajo es que en Sobre la filosofía Aristóteles hace una defensa dialéctica de su concepción de los principios, tomando como punto de partida algunas de las opiniones existentes al respecto. En ese sentido, el modo de proceder aristotélico en esta obra es consistente con el implementado con idénticos fines en las obras canónicas y contribuye a comprender el uso epistémico de la dialéctica en este pensador. Para demostrar esto, nos centraremos en el análisis (...) del fragmento 17. A tales efectos, dividiremos el trabajo en dos partes: en la primera, analizaremos el uso de las opiniones citadas en relación con el tema a discutir; en la segunda, examinaremos los recursos metodológicos por medio de los cuales Aristóteles da cuenta de sus propias concepciones. (shrink)

This manuscript presents an approach of the mathematical raids on the evolution theory. The central idea is to show the fundamental role of mathematics in the improvement of the Darwinian mechanism, highlighting a theoretical reformulation based on the natural laws and the metaphysical component.

Nadie puede negar que la figura de Edmund Husserl constituye la llave de acceso para el horizonte filosófico de nuestro tiempo, tanto en su versión continental como analítica. Pero ¿en qué medida un mismo planteamiento pudo dar suelo y sustento al despliegue de corrientes tan distintas? Aunque mucho se ha trabajado ya para desembrollar el renovado sentido que filosofía y ciencia adquieren en su propuesta, el camino que siguió para llegar a esas conclusiones todavía no goza de suficiente claridad. Por (...) ello, en este artículo nos hemos propuesto esclarecer algunos intersticios de la transformación de su pensamiento, tomando como hilo conductor las preocupaciones de juventud que, a la larga, desembocarán en la formulación de su contundente crítica al conocimiento. Para lograr nuestro objetivo daremos seguimiento al itinerario husserliano, comenzando por la Filosofía de la aritmética, para luego finalizar con su concepción de la filosofía como la más estricta de las ciencias. Nobody can deny that the figure of Edmund Husserl represents the key to the philosophical horizon of our time in both version, as continental as analytical one. But, how can the same approach give ground and support to the development of such diverse topics? Although much work has been done to explain the renewed sense that science and philosophy acquire inside their proposal, the way Husserl reached that conclusion is not sufficiently clear yet. That is why in this article we intend to clarify some aspects of his thought transformation, keeping it up whit his early concerns that will lead, inevitably, in his critique of knowledge. To achieve this, we will follow the husserlian itinerary from The philosophy of arithmetic to his conception of philosophy as the strictest science. (shrink)

This paper attempts to clarify some of the mathematical details of Ramón Llull's combinatorial logic.

This is the first publication on complete and stand alone arithmetization of bivalent logic.

Diversos filósofos e matemáticos contemporâneos admitem que existe uma vertente da filosofia matemática denominada “Platonismo”, segundo a qual, em síntese, os entes matemáticos – números, pontos, retas, planos, _etc_. – são coisas que existem no mundo independentemente de nós. Na literatura especializada é recorrente a compreensão de que essa tese filosófica tem origem na teoria das formas de Platão. Entretanto, a assertiva de que os entes matemáticos existem em si mesmos não é encontrada na filosofia desse filósofo (...) ateniense, observada a passagem 509d, e seguintes, do seu diálogo _A_ _República._ Na verdade, segundo o pensamento matemático de Platão os entes matemáticos possuem um valor intermediário, como mostramos nas seções a seguir ao “reconstruirmos” o seu raciocínio da “linha dividida”, segundo os trechos da _República_: (1) _Livro V_: 477a-b, 477e, 478b, 478c, 478d; (2) _Livro VI_: 509d-e, 510a, 510b, 510c-d, 510e, 511a, 511 a-b, 511d, 511e; (3) _Livro VII_: 533 b-c, 534a. (shrink)

El artículo estudia la presencia de los cuadrados mágicos matemáticos en al-Andalus. Después de un repaso introductorio a la historia de dichos cuadrados mágicos, al problema de su origen y a su desarrollo en el oriente islámico, se examinan los métodos de construcción de los cuadrados talismánicos que aparecen en dos manuscritos del tratado de Azarquiel, el único sobre este tema conocido en al-Andalus, así como su recepción en Europa.

En reacción al platonismo de Quine acerca de los objetos matemáticos han surgido las posiciones ficcionalistas, tanto las revisionistas como las hermenéuticas. En mi parecer las tres posiciones son defendibles. Cuál elige uno (si es que decidimos elegir una de ellas), depende de convicciones filosóf..

Traduzione di Ausgleichung eines auf Mißverstand beruhenden matematischen Streit. Il testo fu pubblicato per la prima volta nel 1796 in "Berlinische Monatsschrift", 2, pp. 368-370.

Estamos tan habituados a que la ciencia describa la realidad mediante ecuaciones de asombrosa eficacia que raramente nos detenemos a pensar en la gentileza que demuestra el mundo prestándose a ello. ¿Por qué la naturaleza obedece reglas matemáticas tan magníficamente precisas? ¿Es genuinamente matemático el mundo, o tan sólo parece serlo la parte que podemos descubrir de él? Estas y otras cuestiones con ellas relacionadas se discuten en el contenido de esta obra, donde se traza el apasionante viaje que ha (...) llevado a la humanidad a explorar el cosmos con la imprescindible ayuda de las herramientas suministradas por el inagotable caudal de la matemática. (shrink)

In this paper we analyze an ambiguity concealed in the concept of determination as used by Kant in his characterization of the transcendental schema as “transcendental time-determination”. We claim that, in this context, “determination” can be understood in a dynamic way as well as in a static manner. In the first case, transcendental schemata are procedures of synthesis or temporal determination of the empirical manifold. In the second case, transcendental schemata are the basic temporal properties or determinations produced by those (...) procedures. (shrink)

Actualmente, somos integrantes de la Red de Educadores Matemáticos Críticos (REDUMAC) y encontramos relevante, estudiar los caminos transitados, los desafíos que hemos asumido con la intención de transformar las prácticas matemáticas desde la escuela, así como hacer evidente las posibilidades de nuestra apuesta teórica, metodológica y las formas de trabajo como colectivo de maestros. Este colectivo surge del interés y preocupación de profesionales en educación por continuar la formación que habíamos puesto en marcha desde el desarrollo de nuestros trabajos (...) de grado de maestría bajo perspectivas sociopolíticas y de la política cultural de la educación matemática retomando inicialmente postulados de la Educación Matemática Crítica (EMC). El desarrollo de las prácticas pedagógicas propuestas que hemos gestado ha girado en torno al diseño de escenarios de aprendizaje y de ambientes de modelación matemática. Sustentados en estas ideas teóricas, REDUMAC busca generar espacios desde los cuales los profesores continuemos profundizando y reflexionando las ideas que trabajamos en nuestras investigaciones, encontrando intereses comunes con otros compañeros. De esta manera, buscamos posicionarnos y actuar críticamente en nuestro rol como profesores e investigadores desde el campo de la educación matemática para pensar y reflexionar sobre las problemáticas que vinculan la escuela, la universidad y la sociedad. Nuestro objetivo es continuar consolidándonos como red y como espacio de formación continuada de profesores, desde un proceso autónomo que surge de los propios intereses de sus participantes, y que quiere vincular a más profesores e investigadores del país que tengan esas mismas intencionalidades. Con este escrito, buscamos no solo invitar a la comunidad a poner en discusión esta preocupación, sino dar a conocer la experiencia en formación continuada de profesores de matemáticas que hemos venido explorando, construyendo y consolidando desde espacios de autoformación. Para lograrlo, hacemos un proceso reflexivo y de autoconocimiento para identificar los caminos que hemos transitado, las posibilidades y los retos que venimos asumiendo desde nuestro trabajo colaborativo, buscando otros mundos posibles que vinculen la educación matemática y la realidad social de nuestro país. De esta manera, iniciamos el artículo con un apartado en el cual argumentamos la relevancia de retomar el camino de REDUMAC, posteriormente, reconstruimos en detalle nuestra historia, y en un tercer apartado, profundizamos en las estrategias de trabajo que hacen particular a este colectivo de maestros. Para finalizar, relatamos los caminos recorridos, los logros alcanzados, los aprendizajes construidos, las posibilidades que encontramos a futuro para nuestro colectivo y para iniciativas que se puedan gestar en estas líneas. (shrink)