Theory of Computation -- Mathematical Logic and Formal Languages.

Der Laie spricht manchmal die Ansicht aus, die Mathematik ware heutzutage schon eine tote Wissenschaft: nachdem sie einen ungemein hohen Grad der Entwicklung erreicht hat, sei sie in ihrer steinernen Vollkommenheit erstarrt. Dies ist ein vollig irriges Bild der Situation: nur wenige Wissenschaftsgebiete befinden sich heute in der Phase einer solch intensiven Entwicklung wie die Mathematik. Diese Entwicklung ist dabei auBerordentlich vie1seitig: die Mathematik erweitert ihre Domane nach allen moglichen Richtungen, sie wachst in die Rohe, in die Weite und in (...) die Tiefe. Sie wachst in die Rohe, da auf dem Boden ihrer alten Theorien, denen eine jahrhundert-, ja sogar jahrtausend- lange Entwicklung zugrunde liegt, immer wieder neue Prob1eme auftauchen, immer scharfere und vollkommenere Resultate er- zielt werden; in die Weite, da ihre Methoden andere Wissen- schaftszweige durchdringen, ihr Untersuchungsbereich immer umfangreichere Gebiete von Erscheinungen umfaBt und immer neue Theorien in den groBen Kreis mathematischer Disziplinen einbezogen werden; und schlieBlich in die Tiefe, da ihre Grund- lagen immer mehr gefestigt, die bei ihrem Aufbau angewandten Methoden immer vollkommener werden und ihre Prinzipien an Dauerhaftigkeit gewinnen. In dem vorliegenden Buch wiinschte ich dem Leser, der fiir die gegenwartige Mathematik Interesse aufweist, aber ihr fern- steht, mindestens einen ganz allgemeinen Begriff von dieser dritten Entwicklungslinie der Mathematik, d. i. von ihrer Ent- wicklung in die Tiefe, zu geben. (shrink)

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften (...) zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff. (shrink)

This rigorous treatment of elementary logic can best be characterized by noting that it relies heavily on semantical analyses of systems of logic running from the propositional calculus right through to a system of second-order arithmetic. The first chapter covers a multiplicity of topics: the concept of consequence, proofs and calculi, the symbolization of mathematical propositions. Hermes then painstakingly constructs quantification theory: first, the language itself, then its semantics; he then presents a completely set up predicate calculus, giving special attention (...) to derivability and decidability problems; a long, well-worked out completeness proof along the lines of Henkin is given, and some of its consequences are drawn out. Hermes then constructs a system of arithmetic in second-order logic, where he is especially concerned with categoricity of its interpretations. The last chapter provides further material on the functional calculus of first order: extended predicate calculi, normal forms for expressions. Excepting for a very few passages, this book should be accessible to everyone interested in formal logic.—P. J. M. (shrink)

This rigorous treatment of elementary logic can best be characterized by noting that it relies heavily on semantical analyses of systems of logic running from the propositional calculus right through to a system of second-order arithmetic. The first chapter covers a multiplicity of topics: the concept of consequence, proofs and calculi, the symbolization of mathematical propositions. Hermes then painstakingly constructs quantification theory: first, the language itself, then its semantics; he then presents a completely set up predicate calculus, giving special attention (...) to derivability and decidability problems; a long, well-worked out completeness proof along the lines of Henkin is given, and some of its consequences are drawn out. Hermes then constructs a system of arithmetic in second-order logic, where he is especially concerned with categoricity of its interpretations. The last chapter provides further material on the functional calculus of first order: extended predicate calculi, normal forms for expressions. Excepting for a very few passages, this book should be accessible to everyone interested in formal logic.—P. J. M. (shrink)