Phenomena covered by the term duality occur throughout the history of mathematics in all of its branches, from the duality of polyhedra to Langlands duality. By looking to an “internal epistemology” of duality, we try to understand the gains mathematicians have found in exploiting dual situations. We approach these questions by means of a category theoretic understanding. Following Mac Lane and Lawvere-Rosebrugh, we distinguish between “axiomatic” or “formal” (or Gergonne-type) dualities on the one hand and “functional” or “concrete” (or Poncelet-type) (...) dualities on the other. While the former are often used in the pursuit of a “two theorems by one proof”-strategy, the latter often allow the investigation of “spaces” by studying functions defined on them, which in Grothendieck's terms amounts to the strategy of proving a theorem by working in a dually equivalent framework where the corresponding proof is easier to find. We try to show by some examples that in the first case, dual objects tend to be more ideal (epistemologically more remote) than original ones, while this is not necessarily so in the second case. (shrink)

La théorie des catégories vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu’elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu’alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. La théorie des catégories est une discipline fondamentale en le sens de Christian Thiel, car elle traite d’opérations typiques de la mathématique de structures. Cette thèse est défendue à l’aide d’une (...) interprétation particulière du pragmatisme peircéen d’après laquelle la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux). (shrink)

La théorie des catégories vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu’elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu’alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. La théorie des catégories est une discipline fondamentale en le sens de Christian Thiel, car elle traite d’opérations typiques de la mathématique de structures. Cette thèse est défendue à l’aide d’une (...) interprétation particulière du pragmatisme peircéen d’après laquelle la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux). (shrink)