Abstract

Les algèbres de dimensions supérieures libèrent les mathématiques de la restriction d'une notation purement linéaire. Elles aident ainsi à la modélisation de la géométrie et procurent une meilleure compréhension et plus de possibilités pour les calculs. Elles nous donnent de nouveaux outils pour l'étude de problèmes non-commutatifs, de dimension supérieure qui assurent le passage du local au global, en utilisant la notion d' «inverse algébrique de subdivision». Nous allons exposer comment ces idées sont venues aux auteurs en prolongeant initialement la notion classique de groupe abstrait à celle de groupoïde abstrait, dont la composition n'est que partiellement définie, et qui ajoute une composante spatiale à la théorie habituelle des groupes. La théorie des noeuds nous fournit un exemple en indiquant comment une telle algèbre peut être utilisée pour décrire la structure d'un espace. Le prolongement à la dimension 2 utilise des compositions de carrés dans deux directions et la richesse de l'algèbre qui en résulte est montrée par certains calculs de dimension 2. La difficulté de la transition de la dimension 1 à la dimension 2 est également illustrée par la comparaison de la notion de carré commutatif à celle de cube commutatif - le traitement de cette dernière nécessitant de nouvelles notions. L'importance de la théorie des catégories est expliquée, de même que les possibilités de l'application d'algèbres de dimensions supérieures.