Abstract

O autor analisa a crítica que fez Wittgenstein aos fundamentos de Matemática na dupla fase do seu pensamento lógico e filosófico. Começa por situá-lo em relação às 3 Escolas que discutiam sobre a fundamentação lógica da matemática: o logicismo, o intuicionismo e o formalismo. Na 1.a fase do Tractatus, vê-se que Wittgenstein é logicista. Mas é original porque não deriva a aritmética do cálculo de classes, como fazia Russell, mas do cálculo proposicional, que generaliza. Considera a matemática como um simples "método lógico". Por isso define o Número como "expoente duma função proposicional"! Mas neste caso trata-se implicitamente, duma nova extensão analógica de princípios e conceitos da aritmética à lógica pura. Por exemplo: noções de número, operação, exponenciação, etc. E se Wittgenstein quer criar, por analogia, números lógicos (símbolos puros), então tem de fazer uma interpretação semântica para passar da lógica formal pura para a aritmética! Só admite o infinito potencial na matemática. Infere-se, pois, que na l.a fase do Tractatus, Wittgenstein, é nominalista e finista. Na 2a fase das Notas (PB ou Remarks) que são manuscritos e fotocópias, (entre 1927 e 1944) Wittgenstein foi variando de pensamento. Agora julga que a matemática se funda a si mesma, como autónoma de lógica pura. Descobre que para além dos "Símbolos" há relações para os "significados" e "usos". E a matemática pode ser teórica e aplicada aos cálculos das ciências. Mas pela sua crítica intuicionista rejeita o valor da teoria dos números irracionais de Dedekind, do teorema e processo da diagonal com que Cantor prova a teoria dos números transfinitos... Wittgenstein aborda ainda os célebres teoremas de Fermat e de Gödel, quando analisa as proposições indecidíveis dos Principia mathematica (de Russell-Whitehead). O autor mostra, no artigo, que Wittgenstein não tem razão na sua crítica pouco profunda ao conceito de número e suas generalizações. .. Na 2.a fase ele continua a ser finitista, mas agora é conceptualista. /// L'auteur analyse la critique que fit Wittgenstein aux fondements des Mathématiques dans la double phase de sa pensée logique et philosophique. Il commence par situer cette pensée en relation avec les trois écoles qui discutaient sur la fondation logique des mathématiques : le logicisme, l'intuitionisme et le formalisme. Dans la première phase du Tractatus, on voit que Wittgenstein est lo-giciste. Mais sa position est originale, parece qu'il ne dérive pas les mathématiques du calcul des classes, comme faisait Russell, mais du calcul propo-sitionnel, qu'il généralise. Il considère les mathématiques comme une simple "méthode logique". C'est pourquoi il définit le Nombre comme "exposant d'une fonction propositionnelle". Mais en ce cas il s'agit implicitement d'une nouvelle extension analogique de principes et de concepts de l'arithmétique à la logique pure. Par exemple : les notions de nombre, d'opération, d'opération exponentionelle etc. Et si Wittgenstein veut créer, par analogie, des nombres logiques (symboles pures), il doit alors faire une interprétation sémantique pour passer de la logique formelle pure aux mathématiques! Il n'admet que l'infini potentiel en mathématiques. Il s'ensuit alors que dans la première phase du Tractatus Wittgenstein est nominaliste et finitiste. Dans la seconde phase des Notes Philosophische Bemerkungen ou Remarks1 qui sont des manuscrits et photocopies (entre 1927 et 1944), Wittgenstein diversifia sa pensée. Il pense alors que les mathématiques se fondent elles-mêmes, de façon autonome par rapport à la logique pure. Il découvre que au-delà des "Symboles" il y a des relations pour les "sens" et les "usages". Et les mathématiques peuvent être théoriques et appliquées aux calculs des sciences. Mais par sa critique intutiuniste, il rejette la valeur de la théorie des nombres irrationnels de Dedekind, du théorème et du procédé de la diagonale par lesquels Cantor prouve la théorie des nombres transfinis. Wittgenstein aborde encore les célèbres théorèmes de Fermât et de Gô-del quand il analyse les propositions indécidables des Principia Mathematica (de Russell – Whitehead). L'auteur montre dans l'article que Wittgenstein n'a pas raison dans sa critique peu profonde au concept de nombre et ses généralisations... Dans la seconde phase, il continue à être finitiste, mais à présent il est conceptualiste. /// The author examines Wittgenstein's criticism of the foundations of mathematics in the two phases of his logical and philosophical thought. He begins by situating it in relation to the three schools which discussed the logical foundations of mathematics: logicism, intuicionism, and formalism. In the first phase of the Tractatus, we can see Wittgenstein as a logicist. His originality resides in his not deriving arithmetic from the calculus of classes, as did Russell, but from propositional calculus that he generalizes. Wittgenstein considers mathemathics as a simple "logical method". This is why he defines "number" as a "exponent of a propositional function". But in this case it is implicitly a matter of a new analogical extension of arithmetical principles and concepts to pure logic. For example, the notions of number, operation, and exponentiation, etc And if Wittgensteinwishes to create by analogy logical numbers (pure symbols), then he has to effectuate a semantical interpretation to pass from pure formal logic to arithmetic! He only allows potencial infinity in mathematics. One can infer that in the Tractatus phase, Wittgenstein is nominalist and finitist. In the second phase of Remarks, manuscripts and copies, dating between 1927 and 1944, Wittgenstein changed his thinking. Now he believes that mathematics founds itself independently of pure logic. He discovers beyond "symbols" there are relations for "meanings" and "uses". And mathematics can be theoretical and applicable to the calculus of sciences. But by his intuitional criticism he can reject the value of the theory of irracional numbers of Dedekind, of the theorem and the process of the diagonal, with wich Cantor proves the theory of transfinit numbers... Wittgenstein refers still the famous theorems of Fermat and Godel when he examines the indecidable propositions of the Prinvipia Mathemativa (of Russell-Whitehead). In this article the author shows that Wittgenstein is not correct in his not too profound criticism of the concept of numbers and its generalizations. In the second phase, he continues to be finitist but now also conceptualist.