This article deals with six aspects of analogical thinking in mathematics: 1. Platonism and continuity principle or the “geometric voices of analogy” (as Kepler put it), 2. analogies and the surpassing of limits, 3. analogies and rule stretching, 4. analogies and concept stretching, 5. language and the art of inventing, 6. translation, or constructions instead of discovery. It takes especially into account the works of Kepler, Wallis, Leibniz, Euler, and Laplace who all underlined the importance of analogy in finding out (...) new mathematical truth. But the meaning of analogy varies with the different authors. Isomorphic structures are interpreted as an outcome of analogical thinking. (shrink)

Dem Versuch, die These zu stützen, daß Logik und Mathematik eins seien, hat Russell mehrere Bücher gewidmet, unter anderem das dreibändige, gemeinsam mit A. N. Whitehead verfaßte Werk "Principia Mathematica" (1910-1913). Die "Einführung in die mathematische Philosophie" faßt die Ergebnisse dieser Untersuchungen zusammen, ohne Kenntnisse der mathematischen Symbolik vorauszusetzen. Sie ist zuweilen und mit Recht "eine bewundernswerte Exposition des Monumentalwerks Principia Mathematica" genannt worden; und sie ist zugleich etwas anderes, insofern sie eine relativ eigenständige Einführung in die Grundlagen der (...) Mathematik und der Erkenntnistheorie darstellt. Das Buch entstand 1918 im Gefängnis von Brixton, wo Russell eine sechsmonatige Haftstrafe für seine pazifistische Tätigkeit während des 1. Weltkrieges absaß. Es ist sehr anregend zu lesen, wie beinahe alles, was Bertrand Russell geschrieben hat, und es ist ein Buch von der Art, wie es nur jemand wie Russell schreiben kann, wenn er im Gefängnis sitzt und keine Hilfsmittel hat und sich daher entschließt, allen technischen Ballast abzustreifen. Anders als die heute üblichen Texte im Bereich der Philosophie der Mathematik läßt Russell seine Leser immer an seinem Denken teilhaben, an seinen Vermutungen und Irrtümern und an der Begeisterung, die er bei der Beschäftigung mit seinem Gegenstand empfindet. Da er einer der herausragenden Protagonisten des modernen wissenschaftlichen Empirismus und einer der Begründer der heute dominierenden Philosophie der Mathematik ist, gewinnt man auf diese Weise aus seinen Schriften einen einzigartigen Einblick in die Wechselfälle und Ideen der erkenntnistheoretischen und logischen Diskussionen dieses Jahrhunderts. Die Ausgabe bietet eine revidierte Fassung der deutschen Übersetzung des in den 20er Jahren prominenten Mathematikers E. J. Gumbel sowie W. Gordon. Michael Otte stellt in seiner Einleitung die Russellsche Genialität in den Kontext der Gesamtproblematik, wie sie Wissenschaftstheorie, Erkenntnistheorie und Philosophie der Mathematik seit Beginn des 20. Jahrhunderts. (shrink)

In diesem Buch geht es um die faszinierende Fähigkeit der menschlichen Sprache, mit Hilfe winziger (mikrosemantischer) Morpheme als Hilfsmittel komplizierte logische (mathematische) Bedeutungen auszudrücken. Sprachen markieren Bedeutungen mit identischen Schlussfolgerungen, indem sie identische Partikel verwenden, und diese Partikel schleichen sich so in eine Vielzahl von Ausdrücken ein. Aufgrund ihrer Multitasking-Fähigkeit, scheinbar disparate Bedeutungen auszudrücken, werden sie als Superpartikel bezeichnet. Diese Partikel sind perfekte Fenster in die Verzahnung mehrerer grammatischerModule und die Art der Interaktion dieser Module im Laufe der Zeit. (...) Fest verankert in dem Modul, in dem die grammatischen Knochen gebaut und zusammengesetzt werden (enge Morphosyntax), erhalten Superpartikel je nach der Struktur, in der sie vorkommen, unterschiedliche Interpretationen (im begrifflich-intentionalen Modul - Semantik). Darüber hinaus sind einige der Interpretationen, die diese Partikel auslösen, inferentiell und gehören nach der Standardrechnung in den Bereich der Pragmatik. Wie können solch winzige Partikel, die selten länger als eine Silbe sind, so mächtige und übergreifende Wirkungen im intermodularen grammatischen Raum haben? Dies ist der platonische Hintergrund, vor dem dieses Buch steht. Dieses Buch ist eine Übersetzung einer englischen Originalausgabe. Die Übersetzung wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz (maschinelle Übersetzung durch den Dienst DeepL.com) erstellt. Eine anschließende menschliche Überarbeitung erfolgte vor allem in Bezug auf den Inhalt, so dass sich das Buch stilistisch anders liest als eine herkömmliche Übersetzung. (shrink)

Das Verhaltnis von Sprache und Bewusstsein wird als das Verhaltnis der Verhaltnisse angesehen. Das erste Verhaltnis fungiert nicht tech nisch-praktisch oder mathematisch, nicht als Prinzip von Verhalt nissen. Es wird als Bedingung der Moglichkeit und Wirklichkeit eines logischen Ganges von der Substanz iiber die Stadien der Funktion, Refiexion bis zum Begriff angesehen. Der Funktionsbegriff lost nicht den Substanzbegriff ab, wie noch bei Ernst Cassirer. Substanz, Funk tion und Refiexion sind als Momente innerhalb des logischen Begriffs zu denken. Die Frage nach (...) dem Sein tritt nicht in den Vordergrund, obwohl sie das potenzierte Verhaltnis als Frage streift. Entgegen standlichung und Vergegenstandlichung treten innerhalb der Erkennt nis mit dem gleichen Anspruch auf. Die mich seit 1949 beschaftigende Frage nach einer Ubersetzung von Hegels Philosophie des Absoluten in die ihr eigene Dialektik war immer zugleich an die einzelnen Disziplinen der Philosophie gerichtet. Bald wurde klar, dass das zu allen Zeit en geiibte Umschreiben bestimmter philosophischer Disziplinen im Zeit alter des Nihilismus, das das Zeit alter der absoluten Herrschaft der exakten Wissenschaften ist, nur noch mit vorgespielter N aivitat vorgenommen werden konnte. Es dient weder der Stunde noch entspricht es ihrer Not. Philosophische Distanz ist heute im Anblick der Wissenschaften schwer durchzuhal ten. Sie scheint nicht in erster Linie durch Wissenschaftstheorien er reichbar, obwohl diese zur erwiinschten Klarung von Satzen beitragen und deshalb bei dem Versuch der Gewinnung einer Logik von der Sprache her herangezogen werden miissen. (shrink)