Péraire, Y., Infinitesimal approach to almost-automorphic functions, Annals of Pure and Applied Logic 63 283–297. Thanks to the use of ideal elements of several levels, we are able to give a compact topological characterization of almost-automorphic functions. This new characterization turns out to be equivalent to a geometrical one: the existence of a relatively dense group of “pointwise periods”. However, the more significant result obtained, in our opinion, is a very important lowering of the complexity in characterizations and proofs.

L’histoire récente des mathématiques non standard est mise en pers­pective de manière à faire apparaître une modification dans le langage utilisé et dans la pratique de la référentiation des énoncés qui pourrait conduire, si on le souhaitait à rapprocher la langue mathématique d’une langue de communi­cation. La profusion des constructions ensemblistes peut être limitée grâce à un vocabulaire un peu plus riche permettant de « dire l’indétermination », l’indiscernabilité, l’inaccessibilité… quand cela est nécessaire et d’explorer plus finement par le langage (...) mathématique, par une sorte de traduction du langage courant, des concepts sur lesquels le langage des mathématiques convention­nelles est presque muet : concepts de point, de grandeur infinie ou infinitésimale etc…. (shrink)

L’histoire récente des mathématiques non standard est mise en pers­pective de manière à faire apparaître une modification dans le langage utilisé et dans la pratique de la référentiation des énoncés qui pourrait conduire, si on le souhaitait à rapprocher la langue mathématique d’une langue de communi­cation. La profusion des constructions ensemblistes peut être limitée grâce à un vocabulaire un peu plus riche permettant de « dire l’indétermination », l’indiscernabilité, l’inaccessibilité… quand cela est nécessaire et d’explorer plus finement par le langage (...) mathématique, par une sorte de traduction du langage courant, des concepts sur lesquels le langage des mathématiques convention­nelles est presque muet : concepts de point, de grandeur infinie ou infinitésimale etc…. (shrink)

The results established in this paper are in connection with the Relative Internal Set Theory (R.I.S.T.). The main result is the general principle of choice: Let α be a level and let Φ(x, y) be anαexternalαbounded formula of the language of R.I.S.T.. Suppose that to each elementx, dominated by α, corresponds an elementy x such that Φ(x, y x ) holds, then there exists a function of choice ψ such that, which is a very general principle of choice, for everyx (...) dominated by α, Φ(x, ψ(x)) holds. More than that, we establish that if all the elementsy x are uniformly dominated by a level β then we can prescribe that the function of choice is also dominated by β. (shrink)