This is the basis of the first part of the book.

Tasks in Primary Mathematics Teacher Education is intended to advance relevant research and innovative international practices in the preparation and professional development of mathematics teachers. Emerging from discussion at the ICMI study on teacher professional development, this volume, focused on primary and elementary teachers, culls a richness that can only be found by gathering wisdom from varied experiences around the world. The choice of tasks, and the associated pedagogies, is a key aspect of teaching and learning mathematics. Arguing that what (...) students learn is largely defined by the tasks they are given, several major themes are presented. One such major strand, the form, function and focus of tasks, is discussed throughout several chapters, offering analysis, discussion of implementation, and exemplars of a broader category of illustrative techniques for developing critical understanding. (shrink)

Skeptiker aller Schattierungen nicht gern zur Kenntnis, daft sie ihren Standpunkt nicht beweisen konnen. Eine solche komplexe Feststellung provoziert geradezu das emporte Aufbegehren: "Dies kann doch unmoglich dein letztes Wort sein. Irgendeine Losung in der einen oder anderen Richtung muB es doch geben!" Dazu kann ich nur sagen: "Diese,Losung' hast du jederzeit in der Hand: Entscheide dich!" Hier trage ich allerdings an einer gewissen, bei man chen Lesern entstandenen Begriffsverwirrung vermutlich selbst Schuld. Obwohl es mir schien, daB aus dem jeweiligen (...) Kon­ text hinreichend klar hervorgehe, was ich mit "unentscheid­ bar" meine, sind einige Leser tiber die Doppeldeutigkeit dieses Wortes gestolpert. Wenn ich sage, daB das Problem der Metaphysik absolut unentscheidbar sei, so verwende ich das Wort "entscheidbar" in einem rein theoretischen Sinn (in Analogie zu dem allerdings viel spezielleren Sprachge­ brauch, nach dem man sagt, Godel habe ftir sein Unvoll­ standigkeitstheorem einen formal unentscheidbaren Satz konstruiert). Gemeint ist, grob gesprochen: "Diese Frage laBt sich nicht durch reines Nachdenken entscheiden". Da­ gegen ist es gerade meine Auffassung, daft das Problem, ob hie et nunc eine echte, gelten zu lassende und anzuerkennende Einsicht vorliegt, allein durch meine personliche Gewissens­ entscheidung, fur die ich nur mir selbst gegenuber verant­ wortlich bin, gelost werden kann. Mein personliches Gewis­ sen ist nicht nur bei ethischen Entscheidungen die oberste Instanz, sondern auch bei den scheinbar ganz entsubjekti­ vierten objektiv-wissenschaftlichen Sachfragen. Dies ist eine Entscheidung im praktischen, nicht-theoretischen Sinn. (shrink)

Die vorliegende Arbeit wurde zu dem Zwecke abgefaßt, eine Einführung in die reine oder nichtempirische Semantik zu geben, die sich in den letzten Jahren zu einem eigenen Forschungszweig entwickelt hat. Immer mehr dringt in der Philosophie der Gegenwart die Erkenntnis durch, daß philosophische Untersuchungen zu einem guten Teil sprachlogischer und sprachkritischer Art sein müssen, und im Rahmen solcher Untersuchungen nehmen jene der Semantik eine zentrale Stellung ein. Während die Logikkalküle nur mit der traditionellen formalen Logik in einem gewissen historischen Zusammenhang (...) stehen, ist der Kontakt zwischen der Semantik und den althergebrachten philosophischen Pro blemen ein viel engerer. Dort steht bloß der Begriff der logischen Deduk tion im Vordergrund, hier hingegen der wichtigste Begriff der Erkenntnis theorie, nämlich der Begriff des wahren Urteils bzw. der wahren Aussage. 'Ober die Bedeutung einer Explikation des Wahrheitsbegriffs braucht man wohl kaum Worte zu verlieren angesichts der Tatsache, daß unser ganzes Erkenntnisstreben darauf abzielt, zu wahren Urteilen oder Sätzen zu gelangen. Eine Beantwortung der Frage, was man unter einem t.oiihren Urteil bzw. einer wahren A'U88age zu verstehen habe, wird nicht innerhalb der Einzelwissenschaften gegeben, sondern ist seit jeher dem Philosophen überlassen worden. (shrink)

Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbei­ gehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so auBerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, daB deren genaues Studium fur jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Hohe der Zeit stehen, ganz unerlii. J3lich ist. Durch jene Ergebnisse ge­ winnen wir tiefste Einblicke in die Endlichkeit unseres Denkvermogens, in die Reichweite und die Grenzen des axiomatisch-deduktiven Vor­ gehens, in das Verhaltnis (...) zwischen formalen, kalkiilmaBig aufgebauten logischen sowie mathematischen Systemen und dem nichtformalisierten intuitiven SchlieBen, in die Beziehung zwischen logischer und mathe­ matischer Wahrheit einerseits und Beweisbarkeit andererseits, in die Relation zwischen anfechtbaren, "bedenklichen" SchluBweisen der klassischen Logik und fur unbedenklich gehaltenen Operationen, durch welche die ersteren nachtraglich gerechtfertigt werden sollen. Bei ver­ schiedenen dieser Resultate wird von Oberlegungen ausgegangen, die eine groBe Ahnlichkeit besitzen mit bereits von fruher her bekannten philosophischen Gedankengangen, insbesondere solchen, die zur Konstruk­ tion von Paradoxien fiihrten. Diese Paradoxien waren meist als mehr oder weniger unfruchtbare, mehr oder weniger sophistische gedankliche Spielereien aufgefaBt worden. Nun konnten aber bedeutende metalogische und metamathematische Resultate dadurch gewonnen werden, daB man an jenen zu Paradoxien fiihrenden Oberlegungen gewisse Modifikationen vornahm, fehlerhafte Elemente ausschied und giiltige SchluBfolgerungen prazisierte und in geschickter Weise auswertete. Dies gilt insbesondere fiir die Antinomie des Liigners von EPIMEN'IDES und das Paradoxon von RICHARD. (shrink)