Johann Jakob Wagner (1775-1841), disciple de Schelling et important acteur de la Naturphilosophie allemande, publie en 1803 un ouvrage intitulé Von der Natur der Dinge où il lance le projet d’une réforme de la mathématique visant à l’intégrer à la philosophie. Il provoque ainsi un débat animé dans lequel divers acteurs, scientifiques et philosophes, vont exprimer leur point de vue sur la relation entre les deux disciplines. Nous nous intéresserons en particulier à la réponse de Johann Schön (1771-1839), un mathématicien (...) qui publie l’année suivante un livre aujourd’hui oublié dans lequel il rejette vigoureusement le projet de Wagner. L’analyse de ce débat aide, dans le contexte des réformes universitaires du début du xixe, à comprendre l’histoire de l’émergence en Allemagne d’une discipline mathématique autonome, ainsi que l’apparition de nouvelles problématiques autour de l’axiomatisation et de la systématique. (shrink)

Cet article se propose d’étudier le concept de « mathématique universelle », apparue chez des philosophes comme Aristote, Jamblique et Proclus, dans son rapport à la mathématique. On essaye notamment de montrer qu’il ne se réduit ni à une interprétation extérieure à la donnée mathématique, ni à une pure et simple référence à une théorie, mais s’appuie sur un problème, celui de l’universalité en mathématiques, qu’il s’agit de reconstituer.

Les concepts de paradigme et de thématisation, par lesquels Jean Cavaillès décrit dans l’ouvrage posthume Sur la Logique et la théorie de la science la dynamique de l’activité mathématique, trouvent dans la théorie des catégories à la fois une illustration et une formalisation, et dans la dialectique hégélienne un précédent. Dans un premier temps, nous examinerons cette hypothèse, non sans définir le concept de thématisation et les quelques notions élémentaires de théorie des catégories qui nous serviront par la suite. Ensuite, (...) en supposant hégélienne la notion de « dialectique » employée par Cavaillès, nous vérifierons si le concept de « thématisation » peut prétendre décrire le processus dialectique de la logique hégélienne, interprétation dont nous trouverons l’esquisse chez William Lawvere. Enfin, nous mettrons à l’épreuve cette interprétation en analysant la dialectique hégélienne de l’être et du néant dans la Science de la logique et les Leçons sur l’histoire de la philosophie. Nous verrons ainsi comment la dialectique hégélienne peut tout à la fois décrire la pratique mathématique et s’y voir représenter. (shrink)

L’histoire des mathématiques présente une singularité qui a souvent été remarquée par les historiens : contrairement à la physique, cette histoire ne procède pas essentiellement par conjectures et réfutations, mais par une succession d’enchaînements intégrant le passé dans le présent en le réinterprétant. Cette opération implique un acte de lecture du passé par le présent. En partant des thèses de Husserl dans L’origine de la géométrie sur le rôle de l’écriture dans l’historicité des mathématiques, l’article analyse les conditions (...) de possibilité de cette lecture, liées à la nature du texte mathématique : cette dernière doit être pensée à partir de trois partages opérés par le regard du lecteur : entre le vrai et le faux, entre l’écriture et l’image, entre ce qui est mathématique et ce qui n’en relève pas. L’article prend pour exemple le statut de l’équation dans la Géométrie de Descartes. Il montre la solidarité profonde entre cette dernière et les idées que développe le philosophe sur la lecture et la nature du signe. Et il met en évidence comment il est possible à partir de ces idées de reconstituer la manière dont Descartes pouvait lire un texte mathématique, et de comprendre en quoi cela a déterminé en partie ses conceptions dans sa Géométrie, mais aussi en quoi d’autres lectures de la Géométrie peuvent l’insérer dans les mathématiques des siècles ultérieurs. (shrink)

L’article est une exploration systématique de la dualité des figures du Mind et du Geist, le premier étant entendu comme l’esprit en tant que partie de la nature scientifiquement objectivable, le second comme l’esprit en tant qu’acteur immatériel insaisissable de la pensée. De plus, cette dualité est étudiée du point de vue de l’interférence de la mathématique avec elle, dans plusieurs contextes. Sont ainsi successivement analysés : le conflit entre les deux « modèles » du Mind, le computationnaliste et le (...) dynamiciste; la définition philosophique et la définition épistémologique du Geist ; le jeu entre Mind et Geist dans les recherches cognitives contemporaines ; l’ambivalence de la logique et des mathématiques vis-à-vis de l’opposition Mind/Geist. Dans la partie finale, on propose une définition personnelle du Geist–en termes d’adresse et de sujet–dont dérive une détermination du Mind. Revenant sur ces nouvelles bases à l’interférence avec la mathématique, on conclut sur la question essentielle et délicate de la paramétrisation de la conscience. (shrink)

Les concepts de paradigme et de thématisation, par lesquels Jean Cavaillès décrit dans l’ouvrage posthume Sur la Logique et la théorie de la science la dynamique de l’activité mathématique, trouvent dans la théorie des catégories à la fois une illustration et une formalisation, et dans la dialectique hégélienne un précédent. Dans un premier temps, nous examinerons cette hypothèse, non sans définir le concept de thématisation et les quelques notions élémentaires de théorie des catégories qui nous serviront par la suite. Ensuite, (...) en supposant hégélienne la notion de « dialectique » employée par Cavaillès, nous vérifierons si le concept de « thématisation » peut prétendre décrire le processus dialectique de la logique hégélienne, interprétation dont nous trouverons l’esquisse chez William Lawvere. Enfin, nous mettrons à l’épreuve cette interprétation en analysant la dialectique hégélienne de l’être et du néant dans la Science de la logique et les Leçons sur l’histoire de la philosophie. Nous verrons ainsi comment la dialectique hégélienne peut tout à la fois décrire la pratique mathématique et s’y voir représenter. (shrink)

Dans cet article sont menées deux réflexions. La première tente de juger du rapport de la philosophie à sa textualisation d’après le rapport des mathématiques à leur textualisation, et ce à trois niveaux : 1) en essayant de tirer des manières dont le texte mathématique excède sa forme logique des enseignements quant à la pertinence et la viabilité d’une réduction du texte philosophique à sa forme logique ; 2) en posant le problème d’une étude externaliste du texte philosophique à (...) la lumière des difficultés particulières que suscite l’approche externaliste du texte mathématique ; 3) en examinant ce qu’il en est de l’hybridation du philosophique et du mathématique dans certains textes. La seconde porte sur un aspect particulier de la textualisation : sur l’intervention du marqueur du sujet de l’énonciation (« Je ») dans les textes philosophiques. (shrink)

RésuméL'auteur rappelle tout d'abord que, sous le měme titre, il a publié en 1936 un ouvrage qui vient d'ětre rééditéà la Librairie A. Blanchard.Dans un premier chapitre, l'auteur compare certains titres de cet ouvrage avec ceux proposés par les rapporteurs du colloque. Les deuxième et troisième chapitres posent la question de l'autonomie totale des mathématiques telle que les recherches formalistes l'ont abordée à travers certaines études récentes et concluent à l'impossibilité d'une autonomie totale.En conclusion, l'exercice des mathématiques se (...) présente comme une synthèse dialectique entre trois aspects irréductibles entre eux, l'aspect théorique de la conception et de la matière des formes mathématiques, l'aspect expérimental où les formes mathématiques se chargent de leur fonction informationnelle et l'intuition par laquelle se manifeste le pouvoir de création de la personne mathématicienne. (shrink)

Le choix de définitions « naturelles » ou « correctes » est un aspect fondamental de la recherche mathématique qui a été négligé dans l’étude de la connaissance mathématique. L’une des raisons qui expliquent cet abandon tient au sentiment qu’ont eu de nombreux auteurs que la préférence pour une définition au détriment d’une autre ne pouvait être que « simplement psychologique » ou « subjective » en sorte que de tels jugements ne pouvaient pas être philosophiquement intéressants. Je discute ici (...) d’un sens minimal du terme « objectif » selon lequel on pourrait de manière défendable argumenter que de tels choix de définitions préférées sont objectivement corrects, en dépit des raisons apparemment « esthétiques » qui soutiennent un tel jugement.Choosing « natural » or « correct » definitions is a fundamental aspect of mathematical research that has been neglected in studies of mathematical knowledge. One reason for this neglect may be a sense that many writers seem to have that a preference for one definition over another can only be « merely psychological » and « subjective » in a way that prevents such judgments from being philosophically interesting. I discuss a minimal sense of « objective » according to which such choices of preferred definitions can be defensibly argued to be objectively correct, despite the seemingly « aesthetic » grounds for the judgement. (shrink)

RésuméCet exposé vise à replacer l'ensemble de la pensée mathématique dans le cadre biologique et anthropologique d'une théorie de l'évolution. La pensée mathématique s'est développée chez l'homme sous la nécessité de simuler les processus du monde extérieur, simulation plus fine que celle fournie par le langage usuel. Mais elle présente par rapport à l'infrastructure biologique l'innovation radicale de structures arithmétiques et algébriques fondées sur l'itération indéfinie d'une opération. La pensée algébrique simule en la poussant à l'extrěme l'opposition indéterminisme‐déterminisme sous la (...) forme du couple: variable‐opération. (shrink)

Résumé Il est courant d’inscrire Leibniz dans une lignée qui, passant par Nicolas de Cues et Giordano Bruno, aurait marqué le triomphe de l’infini actuel dans la pensée moderne, qu’elle soit scientifique ou métaphysique. Pourtant Leibniz n’acceptait nullement un tel infini en mathématiques et s’en est expliqué à diverses reprises de manière particulièrement claire. Dans cet article, je voudrais rappeler cette position élaborée dès le début du séjour parisien (Accessio ad Arithmeticam infinitorum, fin 1672) et montrer son effectivité dans (...) l’élaboration du « fictionalisme » leibnizien en ce qui concerne les infiniment petits. Rappelant les différentes stratégies de comparaison entre les pensées de Leibniz et Nicolas de Cues, je voudrais indiquer la manière dont des textes récemment édités permettent aujourd’hui une meilleure appréciation de l’écart qui peut les séparer. (shrink)

t. 1. Relation, formule logique, compacité, complétude.--t. 2. Théorie des modèles.--t. 3. Récursivité et constructibilité.

Résumé — L’objet de cet article est de chercher à déterminer quel est le statut des possibles en mathématiques en montrant comment, à partir de l’analyse proposée par Kripke du mécanisme des illusions modales, il serait possible, conformément aux intuitions initiales de Putnam, de concilier réalisme et modalités. Si l’enjeu du réalisme mathématique est en effet de rendre compte de l’objectivité des mathématiques et non de l’existence de prétendus objets, nous pouvons concevoir une forme de réalisme qui ne (...) sacrifierait pas une réelle ouverture des possibles, pour peu que l’on apprécie dans toute sa complexité la double spécificité sémantique que constituent, en mathématiques, le recours aux descriptions imparfaites et la concurrence des langages.— Are there Kripkean metaphysical possibilities in mathematics ? Or should we stick to epistemic possibilities ? Generalizing the Kripkean account of the mechanism generating modal illusions, this paper investigates how we could make mathematical realism and modal knowledge compatible. Following Putnam’s insight according to which realism should deal with objectivity of mathematics rather than with mathematical objects, I’ll try to sketch a variety of modal knowledge rooted in a twofold semantic fact, peculiar to mathematics, viz. the use of imperfect descriptions and the stacking up of alternative language levels. (shrink)

Les mathématiques peuvent-elles s'appliquer avec succès en philosophie et dans les sciences humaines? Sont-elles, au contraire, réservées au physicien? Loin de se laisser abuser par les discours qui ne voient dans les mathématiques qu'un moyen de sélection et de contrôle, ou un simple langage au service de l'interrogation de la nature, le texte suggère que la véritable puissance de la discipline est à chercher dans son pouvoir d'exprimer la cohérence du monde, grâce à des modèles qui résument les (...) situations et en révèlent l'essence. En ce sens, les mathématiques intéressent le philosophe - non comme objet épistémologique, mais comme outil systématique. Le mathématicien, quant à lui, trouvera ici réunies un ensemble d'informations inédites sur l'origine philosophique des structures qu'il utilise quotidiennement. (shrink)

Nous étudions l’apparition des monstres en mathématiques (comme, par exemple, le monstre dit de Weierstrass — une fonction continue qui n’est différentiable en aucun point) au XIXe siècle. Nous traitons aussi la question : comment peut-on distinguer les mathématiques normales (ou naturelles) des mathématiques pathologiques?

Nous étudions l’apparition des monstres en mathématiques (comme, par exemple, le monstre dit de Weierstrass — une fonction continue qui n’est différentiable en aucun point) au XIXe siècle. Nous traitons aussi la question : comment peut-on distinguer les mathématiques normales (ou naturelles) des mathématiques pathologiques?

Cette édition numérique a été réalisée à partir d'un support physique, parfois ancien, conservé au sein du dépôt légal de la Bibliothèque nationale de France, conformément à la loi n° 2012-287 du 1er mars 2012 relative à l'exploitation des Livres indisponibles du XXe siècle. Pages de début Préface La section de la ligne dans la République (VI 509d 26-28) Le problème de la mesure dans la perspective de l'Être et du non-Être Sur les principes des mathématiques chez Aristote et (...) Euclide Sur la définition euclidienne de la droite L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham Histoire de la théorie des parallèles Implicit versus explicit geometrical methodologies: The case of construction Descartes and Galileo: The quantification of time and force L'analogie et la pensée mathématique La naissance du projectif L'usage philosophique des mathématiques au XVIIesiècle Pages de fin. (shrink)

Pour le philosophe intéressé aux structures et aux fondements du savoir théorétique, à la constitution d'une « méta-théorétique «, θεωρíα., qui, mieux que les « Wissenschaftslehre » fichtéenne ou husserlienne et par-delà les débris de la métaphysique, veut dans une intention nouvelle faire la synthèse du « théorétique », la logique mathématique se révèle un objet privilégié.

It is tempting to consider Girard Desagues’ mathematical work, more precisely his Brouillon project on conics, as a work of mathematics applied to perspective. We would like to show in this text that it is probably more pertinent to consider that Desargues does mathematics as a practitionner of the art of perspective. We shall analyse a few extracts of Desargues’ work with this point of view in mind so as to shed light on his innovative ideas that could be hard (...) to understand in his sometimes obscure style. We shall show how this way of doing geometry can be also be found in the works Philippe de la Hire and Jacques-Francois le Poîvre, leading them to consider a transformation of the plane into itself as an explicited mathematical object. (shrink)

RésuméExiste‐t‐il une Méthode selon laquelle les résultats de la recherche dans une discipline telle que les mathématiques peuvent être intégrés à la recherche philosophique? Cette question est traitée à l'aide de trois exemples: celui de la philosophie cartésienne, celui de l'empirisme logique et finalement celui de la philosophie ouverte.Une seule et même procédure méthodologique se dégage d'ailleurs à toute autre tentative d'intégrer les résultats d'une recherche scientifique à la philosophie. Elle est essentiellement la suivante:Une telle procédure n'est valable que (...) si l'idée de justesse fait son entrée dans la philosophie. Une philosophie qui s'établit dans une intention de justesse s'engendre et s'organise en une perspective mentale telle que le savoir assuré y trouve sa place légitime. Le savoir n'y entre d'ailleurs que sous la forme d'hypothèses à faire valoir, d'hypothèses éprouvées et non totalement certaines.La philosophie cartésienne et la doctrine de l'empirisme logique sont à rejeter parce qu'elles proposent chacune pour son compte une conception des mathématiques que la recherche réelle ne confirme pas.La philosophie ouverte cherche au contraire à en tenir compte dans la conception des mathématiques qu'elle prétend engager dans une perspective philosophique adéquate, des résultats les plus récents de la recherche sur les fondements et la méthode des mathématiques. (shrink)

L’article examine le problème des restrictions qu’il faut apporter à la loi des trois états : la loi du développement de l’esprit est-elle valable à tous les degrés de l’échelle hiérarchique? Ou bien la mathématique fait-elle exception à la loi historique? La réponse apportée par Brentano est assez surprenante et semble même contradictoire. Dans certains textes, il soutient que la mathématique est soumise au même régime que les autres branches du savoir ; et que si restriction il y a, ces (...) restrictions doivent être pensées avec Comte, et non pas contre lui. Dans d’autres textes, Brentano semble se ranger à la position critique de J. S. Mill. Comment concilier ces affirmations apparemment contradictoires? On se propose de répondre à cette question en montrant que la position de Brentano a évolué au tournant des années 1870, et en indiquant le rôle de la nouvelle classification des sciences dans cette évolution. (shrink)

En portant l’attention sur la ville de Troyes, petite cité manufacturière et commerçante du département de l’Aube, entre 1820 et 1850, cet article examine l’offre publique d’enseignement mathématique à l’échelle de la ville afin de mettre en lumière d’éventuelles circulations mathématiques entre les divers types d’institutions post-élémentaires – primaire, secondaire, technique – qui la composent. Il montre ainsi l’existence d’interrelations entre ces filières d’enseignement dont les modalités et les normes d’enseignement sont a priori distinctes, compte tenu de la spécificité (...) de leurs publics et de leurs finalités différenciées, et dont il est généralement admis qu’elles n’ont guère de rapports entre elles du fait des cloisonnements institutionnels qui prévalent à cette époque. Les circulations mathématiques observées sont d’abord des circulations d’enseignants d’une institution à l’autre, liées à la pluriactivité enseignante de nombre d’entre eux. Avec les individus, ce sont aussi des savoirs, des pratiques, des habitudes de travail qui franchissent les frontières institutionnelles et se confrontent éventuellement à d’autres systèmes de normes. (shrink)

En portant l’attention sur la ville de Troyes, petite cité manufacturière et commerçante du département de l’Aube, entre 1820 et 1850, cet article examine l’offre publique d’enseignement mathématique à l’échelle de la ville afin de mettre en lumière d’éventuelles circulations mathématiques entre les divers types d’institutions post-élémentaires – primaire, secondaire, technique – qui la composent. Il montre ainsi l’existence d’interrelations entre ces filières d’enseignement dont les modalités et les normes d’enseignement sont a priori distinctes, compte tenu de la spécificité (...) de leurs publics et de leurs finalités différenciées, et dont il est généralement admis qu’elles n’ont guère de rapports entre elles du fait des cloisonnements institutionnels qui prévalent à cette époque. Les circulations mathématiques observées sont d’abord des circulations d’enseignants d’une institution à l’autre, liées à la pluriactivité enseignante de nombre d’entre eux. Avec les individus, ce sont aussi des savoirs, des pratiques, des habitudes de travail qui franchissent les frontières institutionnelles et se confrontent éventuellement à d’autres systèmes de normes. (shrink)

Toute cette théorie de l’Électrostatique constitue un ensemble de notions abstraites et de propositions générales, formulées dans le langage clair et précis de la Géométrie et de l’Algèbre, reliées entre elles par les règles d’une sévère Logique ; cet ensemble satisfait pleinement la raison d’un physicien français, son goût de la clarté, de la simplicité et de l’ordre. […] Voici un livre [d’Oliver Lodge] destiné à exposer les théories modernes d...

« On Mathematical Concepts of the Material World » a pour objet la revue systématique des formes mathématiques que les théories physiques possibles revêtiraient si elles exprimaient les relations entre entités réelles dans un univers en devenir. Songeant à l’unification des lois de l’électricité et du magnétisme que les équations de Maxwell réalisent, Whitehead fait un pas de plus et imagine l’unification des lois de l’électromagnétisme et de la gravité : les lois ultimes de l’univers « ne présupposeraient pas (...) la géométrie, elles la créeraient ». L’esprit n’a pas à élaborer par lui-même la mathématisation du réel, mais à percevoir l’armature mathématique cachée du monde de l’expérience. Il n’y a donc pas à disjoindre science et perception mais à réveiller dans l’acte de percevoir les relations mathématiques dormantes.The object of « On Mathematical Concepts of the Material World » is to review systematically the mathematical forms that possible theories in physics would take on if they expressed the relationship between real entities in an evolving universe. Referring to how Maxwell brought together the laws of electricity and of magnetism Whitehead went one step further and imagined the unification of electromagnetism and gravity laws : the ultimate laws of the universe « would not presuppose geometry but create it ». The function of the spirit is not to construct the mathematisation of reality alone, but to perceive its hidden mathematical framework. It should not separate science and perception but, in the act of perception, awake sleeping mathematical relationships. (shrink)

Résumé L’usage par Nicolas de Cues du thème de l’infini pour caractériser la divinité et la place éminente des mathématiques dans sa doctrine semblent autoriser un rapprochement avec Duns Scot. Dans cette contribution on tente de montrer les profondes différences entre les deux entreprises et plus généralement l’originalité du Cusain par rapport à la scolastique du xiv e siècle. En revanche sa postérité leibnizienne est peu contestable.