Ce livre resulte de recherches sur les transformations recentes d'un concept aussi vieux que la mathematique elle-meme, celui de nombre reel. De l'analyse classique a l'algebre moderne et de celle-ci a la theorie des modeles, on trace ici le parcours singulier d'une alliance reussie des mathematiques et de la logique. La structure algebrique de corps reel clos et la theorie elementaire de cette structure conduisent a deplacer la frontiere du champ d'intervention des concepts analytiques dans de nombreux problemes. S'il est (...) possible de songer aujourd'hui a une philosophie des mathematiques, on ne pourra negliger le materiau ici presente, l'auteur mettant en valeur les elements qui invitent a repenser le rapport de cette science a la logique en qui, aujourd'hui, elle decouvre pour ses multiples facettes une partenaire universelle. (shrink)

Mathematical abstraction is the process of considering and ma­nipulating operations, rules, methods and concepts divested from their refe­rence to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content connected to particular applications. There is no one single way of per­forming mathematical abstraction. The term “abstraction” does not name a unique procedure but a general process, which goes many ways that are mostly simultaneous and intertwined; in particular, the process does not amount only to logical subsumption. I will consider (...) comparatively how philosophers consi­der abstraction and how mathematicians perform it, with the aim to bring to light the fundamental thinking processes at play, and to illustrate by signifi­cant examples how much intricate and multi-leveled may be the combination of typical mathematical techniques which include axiomatic method, invariance principles, equivalence relations and functional correspondences. (shrink)

This article presents Tarski's Address at the Princeton Bicentennial Conference on Problems of Mathematics, together with a separate summary. Two accounts of the discussion which followed are also included. The central topic of the Address and of the discussion is decision problems. The introductory note gives information about the Conference, about the background of the subjects discussed in the Address, and about subsequent developments to these subjects.

Le nom de Jean Cavailles evoque pour les uns le heros de la Resistance, le combattant intrepide fusille a 40 ans par les Allemands, pour les autres le philosophe brillant qui a propose une conception neuve de la pensee logique. Cet homme ne fait pourtant qu'un, l'unite de la pensee abstraite et de l'action concrete s'arrimant chez lui dans une meme disposition ethique, disposition a prendre des risques, a vivre le risque - theorique ou pratique - comme la solution exigee (...) par un probleme rationnellement pose. Or ce chemin qui va de la position d'un probleme theorique a l'invention de sa solution, le philosophe Cavailles se demande s'il est necessaire ou contingent. L'apparition de la theorie des ensembles de Cantor par exemple est-elle le fruit necessaire du developpement de la mathematique ou bien un evenement contingent qui aurait non seulement pu ne pas se produire mais se produire selon une autre modalite? Mais si plusieurs mathematiques differentes peuvent coexister, n'est-ce pas le modele le plus rigoureux du savoir qui perd d'un coup son unite et sa necessite? Le probleme de Cavailles est de trouver comment d'un univers ancien peut sortir un nouvel univers, comment on peut allier la continuite de la demarche rationnelle et la rupture des concepts. Ce sont les voies utilisees par Cavailles pour resoudre cette question que le livre d'Hourya Benis Sinaceur degage avec une grande clarte. Loin de perdre le lecteur profane dans des considerations mathematiques et logiques qui le depasseraient, l'auteur s'emploie a cerner l'originalite de la pensee philosophique de Cavailles, en montrant comment il fait jouer les unes contre les autres les sources philosophiques auxquelles il puise pour construire une histoire du sens absolument singuliere, irreductible a l'une ou l'autre des philosophies qui l'alimentent pourtant. Entre Frege et Bolzano du cote d'une conception objectiviste des idees, et Hegel et Husserl du cote d'une logique subjectiviste, c'est-a-dire de la conscience, Cavailles tisse une voie moyenne une dialectique materielle (du contenu) sans sujet. L'auteur Ancienne eleve de l'Ecole Normale Superieure et docteur d'Etat es Lettres, Hourya Benis Sinaceur est directrice de recherche emerite au Centre National de la Recherche Scientifique. Membre du comite national d'histoire et philosophie des sciences de l'Academie internationale d'histoire des sciences, elle dirige aujourd'hui une collection d'histoire et de philosophie des sciences chez Vrin. Elle est l'auteur de: - Corps et Modeles, Paris, Vrin, Collection Mathesis, 1991, 2e edition 1999. - Le labyrinthe du continu (co-edition avec SALANSKIS J.-M.), Springer-Verlag France, 1992. - Les paradoxes de l'infini, edition francaise, avec notes et introduction, de BOLZANO Bernard, Die Paradoxien des Unendlichen, Paris, Le Seuil, 1993. - Jean Cavailles, Philosophie mathematique, Paris, PUF, 1994. - La creation des nombres, edition francaise de DEDEKIND Richard, avec notes et introductions, Paris, Vrin, Collection Mathesis, 2008. (shrink)

Neurosciences and cognitive sciences provide us with myriad empirical findings that shed light on hypothesised primitive numerical processes in the brain and in the mind. Yet, the hypotheses on which the experiments are based, and hence the results, depend strongly on sophisticated abstract models used to describe and explain neural data or cognitive representations that supposedly are the empirical roots of primary arithmetical activity. I will question the foundational role of such models. I will even cast doubt upon the search (...) for a general and unified philosophical foundation of an empirical science. First, it seems to me hard to draw a global and coherent view from the innumerable and piecemeal neuropsychological experiments and their variable, and sometimes uneasily compatible or fully divergent interpretations. Secondly, I think that the aim of empirical research is to describe dynamical processes, establishing correlations between different sets of data, without meaning to fix an origin or to point to a cause, let alone to a ground. From the very scientific and philosophical point of view it is essential to distinguish between explanations, which provide correlations or, at best, causal mechanisms, and grounding, which involves a claim to some form of determinism. (shrink)

This article presents Tarski's Address at the Princeton Bicentennial Conference on Problems of Mathematics, together with a separate summary. Two accounts of the discussion which followed are also included. The central topic of the Address and of the discussion is decision problems. The introductory note gives information about the Conference, about the background of the subjects discussed in the Address, and about subsequent developments to these subjects.