Abstract

Hilbert's plan for understanding the concept of infinity required the elimination of non‐finitist machinery from proofs of finitist assertions. The failure of the original plan leads to a hierarchy of progressively less elementary, but still constructive methods instead of finitist ones . A mathematical proof of this failure requires a definition of « finitist ».—The paper sketches the three principal methods for the syntactic analysis of non‐constructive mathematics, the resulting consistency proofs and constructive interpretations, modelled on Herbrand's theorem, and their mathematical and logical consequences. A characterization of finitist proofs is sketched. A remark on the completeness of the predicate calculus concludes the paper. Throughout open problems and alternative approaches are emphasized.ZusammenfassungHilbert sah das Verstehen des Begriffs des Unendlichen in der Eliminierung nichtfiniter Methoden aus Beweisen finiter Sätze. Das Versagen dieses Unternehmens führt zu einer Hierarchic progressiv weniger elementarer, aber noch konstruktiver Methoden, statt der finiten . Ein Unmöglichkeitsbeweis des ursprünglichen Planes setzt eine Definition von « finit » voraus.—Die drei wichtigsten Methoden der syntaktischen Analyse nichtkonstruktiver mathematischer Theorien, die daraus gewonnenen Widerspruchsfreiheitsbeweise and konstruktiven Interpretationen and deren mathematische and logische Anwendungen werden besprochen. Eine Prazisierung des Begriffs « finit » wird skizziert. Eine Bemerkung zur Vollstandigkeit des engeren Funktionenkalküls beschliesst die Abhandlung.—Oflene Fragen and komplementare Fragestellungen werden betont